探索树状苏科版“画树状图和列表”教学中几个理由

【摘要】 本文主要阐述了苏科版“画树状图和列表”教与学中存在的几个问题.提出了对此教学的改进意见.
【关键词】 画树状图；列表；随即事件；概率
初中数学在讲解古典概型时，为了把一个属于古典概型的随机事件的所有等可能的结果都表示出来，通常要用到画树状图和列表这两种方法.这两种方法貌似简单易学、好用，但如果仔细研究下来，就会发现在学生的学和教师的教中仍然存在着一些问题，值得我们注意和研究.

一、学生的学中出现的问题

(一)画树状图不完整，只有“树枝”没有树的“年轮”

画树状图实际上是根据随机事件（本文中所讲的随机事件都属于古典概型）发生的过程（步骤），把每一个过程（步骤）可能发生的情况罗列起来，最后画出一个像一棵树的形状的图的过程.值得注意的是，这棵树也应该像一棵真实的树一样，不仅要有“树枝”——每一个过程（步骤）可能发生的情况，而且要有“年轮”——随机事件发生的过程（步骤）.而学生在的练习中却常常出现只画“树枝”不写“年轮”的情况.举例来说（请跳过几行看例题一中的树状图），学生往往忘记写树状图左边的两行字：第一次摸球、第二次摸球；也就是我们所说的“年轮”. 这样画树状图的后果就是在最后作判断和计算时出现错误.

(二)没有搞清树状图与列表之间的关系

我们平时画出的表格通常是二维的，因而如果一个随机事件的完成过程超过2个步骤，那么要表示该随机事件的所有等可能的结果，列表就无能为力了，但画树状图就可以突破这个限制.不过需要说明的是，如果一个随机事件的完成过程只有两步的话，相对于画树状图，用列表的方式表示所有结果会更加整齐直观，值得提倡.

二、教师的教中出现的问题

（一）照本宣科，对画树状图和列表缺乏拓展和深化，不能很好地帮助学生对画树状图和列表进行理解
求随机事件的概率是在新数学课程标准颁布后才在初中数学课本上出现的知识，而且中考的要求不高.因此尽管新数学课程标准已经颁布多年，但绝大多数初中数学教师关于求概率的教学都只停留在照本宣科的水平上.笔者认为如果只是从应试的角度来讲，也许这样进行教学已经够了；但如果考虑到学生未来在数学上的发展以及从培养学生的数学兴趣的角度来说，这样的教学显然是不够的.
单单只说画树状图，也许学生学了以后认识到：用画树状图的方式可以把所有属于古典概型的随机事件的所有等可能结果都表示出来.应该承认从理论上讲这种认识没有问题，但是如果随机事件的实践步骤和参与元素比较多，学生就会发现画树状图的方法操作起来是很麻烦的.我们要使学生明白画树状图的这一局限性，也要使学生明白这并不是绝对的.
例题一：在一个不透明的袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，其中白球5个，黄球3个，红球2个.摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是多少？
这类题目在各类教辅用书中是十分常见的. 它的特点就是参与的元素较多. 如果按照苏科版课本要求，5个白球要写成白1、白2、白3、白4、白5；3个黄球要写成黄1、黄2、黄3；2个红球要写成红1、红2（详见苏科版数学八下156页练习2、162页例4、163页练习3、数学补充习题（八年级下册）97页第4题），用画树状图的方法把所有的结果都列出来，你就会发现起码要一页纸才能把它们列好.那么你也许要问：是否有一种更为简便的表示法呢？回答是对于这样一类题目而言，是可以用画树状图表示所有等可能结果的，而且简洁明了！但（苏科版）课本上却未对以下的表示法加以说明.
树状图：
第一次摸球
第一次摸球
上面画的树状图，相当于按课本要求做了两个小小的改进：（1）按照小球的颜色做了一个合并；（2）按照实验的步骤分别求出所有等可能结果，最终按照乘法原理和加法原理求出我们所关注的事件的概率.因此我认为如果在此把画树状图加以适当的拓展的话，可以很好地帮助学生更好地理解摘自：学术论文翻译www.618jyw.com
树状图和表格在求概率中的作用以及它的局限性.

(二)没有理清画树状图与排列、组合的关系，没有做好与初高中知识的衔接

有这样一个经常出现在各种苏科版八下数学教辅用书或试卷上的题目：
例题二：有五条线段，长度分别是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是多少？
在讲解这个题目时，教师往往是这样讲的：从5条线段中取出3条，相当于从5条线段中取出2条线段，那么一共有10种情况，从而反推得到从5条线段中取3条线段一共有10种情况：3，4，5；2，4，5；2，3，5；2，3，4；1，4，5；1，3，5；1，3，
4；1，2，5；1，2，4；1，2，

3.其中3，4，5；2，4，5；2，3，4这3种情况符合要求，所以所求的概率是0.

应该说，这种教法并没有用到我们这章所学画树状图或列表的方法，学生也许会感到茫然.那么我们能否用画树状图或列表的方法来做这个题呢？答案是肯定的，只不过画树状图或列表的方法较为繁琐，而且它所得到的所有结果不止10个. 如果按照“从5条线段中取出3条，相当于从5条线段中取出2条线段”来理解，画出树状图或列表的话会有20个可能的结果，如果直接画树状图会有60个结果.
为什么会出现这种情况呢？实际上这牵涉到了画树状图与排列组合的关系！我们知道：画树状图时是按“顺序”画的，所以它得到的结果数和排列数是一致的（组合数是结果数除以次序数的阶乘）.而我们做的那个题目的结果与次序无关，所以其实是一种组合.而按照那两种不同的理解得到的是排列数，它是有序的，但其实组合数都为10 （60 ÷ 3！或20 ÷ 2！）. 上述做法实际上用到了高中知识，所以学生很难理解. 如果用画树状图或列表的方法解决，学生会好理解得多.

(三)没有认识到画树状图或列表的局限性以及它们的真正作用，涉及求概率的题目时随意性大

从上面所述的内容不难发现，画树状图或列表有很大的局限性：所参与的元素个数、实践的步骤不能太多，否则画树状图或列表就很困难.因此初中数学求随机事件的概率，大都是属于简单的古典概型.简单的程度类似于在不透明的袋子中不会超过5个小球、实验的步骤不会超过3步.这样出题的目的主要是为了体现树状图与表格的作用.因此在涉及求概率的题目时一定要慎重，不要自找麻烦.