怎样写高中数学简化分类讨论九种对策

分类讨论既是一种重要的数学思想策略，也是一种重要的解题对策，它可以把整体化为局部，把复杂的不足化为单一的不足，各个击破．但分类讨论一般历程较为冗长，叙述烦琐，由此并非都是解决不足的良策. 在学习历程中，我们在感受分类讨论思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证联系，充分挖掘求解不足中潜在的特殊性与简单性，尽可能避开分类讨论. 下面结合一些具体的实例，谈谈简化分类讨论的若干对策．
对策1　釜底抽薪，消去参数
例1设0＜x＜1，a＞0，且a≠1，试比较loga（1-x） 与loga（1+x） 的大小.
解：∵0＜x＜1，∴0＜1+x＜，于是
=log （1+x）（1-x）=-log（1+x）（1-x）
=log（1+x）＞log （1+x）（1+x）=1 ，故loga（1-x） >loga（1+x） ．
点评：若按常规策略考虑去掉绝对值符号，则应分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，运用对数的换底公式巧妙地消去了参数，避开了分类讨论．
对策2　着眼全局，整体换元
例2求 y=sinx+cosx+sin2x（-π≤x≤0）的最值．
解：令sinx+cosx=t，则sin2x=（sinx+cosx）2-1=t2-1，
于是 y=t2+t-1=（t+）2-，又t=sinx+cosx=sin（x+），-π≤x≤0，故-π≤x+≤，∴-1≤sin（x+）≤，∴-≤t≤1.
故y的最小值为-，y的最大值为1．
点评：本题若以sinx为变量，则用平方联系表示cosx时，开方后需分两种情况讨论，计算量大，充分考虑到sinx+cosx与sinx?cosx的内在联系，以整体上着眼解题，采取换元法显得简单．
对策3　别具匠心，反客为主
例3已知k∈R，试求出关于的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0所有可能的整数根．
解：将原方程整理为二次方程：k2+2（1-x2）k+（x4-3）=0，因k为实数，故Δ=4（1-x2）-4（x2-3）≥0，即-x2+2≥0，故-≤x≤，故x=-

1、0、1．

点评：本题若按常法先通过解关于x2的一元二次方程求出x2再开方用k来表示x，不但计算量大而且需讨论的情形多，反客为主的策略耐人寻味，简直妙不可言！
对策4　正难则反，对立深思
例4投掷两个，至少出现一个1点或2点的概率为________．
解：设“两个至少出现一个1点或2点”为事件A，A的对立事件是“两个既不出现1点也不出现2点”，易知P=（）=×=，故P（A）=1-P（）=1-=．
点评：若以正面求解，则需分五种情况讨论，即“恰好出现一个2点而没有1点”、“ 恰好出现一个1点而没有2点”、 “恰好出现一个1点和一个2点”、“恰好出现两个1点”、“恰好出现两个2点”，解答起来较为烦琐，以反面深思仅有一种情况，无需讨论．
对策5　瞒天过海，整体变形
例5已知sin2α=m，cos2α=n（n≠0），求tan（+α）的值．
解：tan（+α）=tan===．
点评：若按一般策略先求出tan 2α，再利用正切的二倍角公式得到关于tan α的一元二次方程，求出tan α的值有两个，接下来需分类讨论，中间的计算结果也比较复杂．
对策6　一招制胜 参变分离
例6（2012年黄冈检测） 已知方程x3-3ax+2=0只有一个实数根，a的取值范围是_____．
解：x=0显然不是方程的根，当x≠0时，由x3-3ax+2=0得3a=x2+，令g（x）=x2+，则g′（x）=2x-=，显然x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；又g（1）=1，x→-∞时，易知g（x）的图象如图所示；若直线y=a与y=g（x）只有一个交点，显然a＜0．
点评：此题的常规解法是直接画y=x3-3ax+2的图象，探讨其与x轴的交点，解答历程要分a≤0和a＞0两种情况进行讨论，学生往往因深思不建全面而出错，而采取参变分离，将不足转化为“动直线”与“定曲线”的交点不足，解答起来很方便．
对策7　直观形象，数形结合
例7 （2010年湖北高考理科第9题）若直线y=x+b与曲线y=3-3-有公共点，则b的取值范围是（）．
A．[-1，1+2] B．[1-2，1+2]
C．[1-2，3] D．[1-，3]
解：由y=3-，得（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3），则函数对应的图象为以（2，3）为圆心，2为半径的下半圆，则半圆与轴的切点为A（0，3），当直线y=x+b过点A（0，3）时，b=3，当直线与半圆相切时=2 ，解得b=1-2或b=1+2（舍去），结合图形浅析可知1-2≤b≤3，故选D．
点评：函数图象交点个数通常转化为方程解的个数来判断，本题若这样做，则转化为关于的一元二次方程在特定区间有解的不足，但因x的取值范围依赖于b的值，要分不同情况讨论，解答起来非常麻烦，借助数形结合的策略，不但避开了讨论，而且解答显得直观，简捷．
对策8　特值着手，知微见著
例8（2008年江苏高考第14题）设f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对任意x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立，则实数a_______．
解：考虑特殊值0、1、-1，有f（0）=a-2≥0，f（-1）=-a+4≥0，所以2≤a≤4，由f ′（x）=3ax2-3=3a（x+（x-），当x∈（-1，-）时，f ′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（-，），f ′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增；故f（）≥0且f（-1）≥0，解之得a=4．
点评：按常法，则需分a≤0，0＜a≤1，a＞1三种情况讨论，通过取一些特殊值，逐步缩小了参数的范围，缩短了思维的流程．
对策9　另辟蹊径，换位深思
例9 （2005年福建高考理科第9题）以6人中选出4人分别去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择案例共有（）．
A． 300种 B． 240种 C． 144种D． 90种
解：把游览地点作为浅析对象，依次考虑巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市可供选择的人数分别为

4、5、3，由分步计数原理知选择案例共有N=4×5×4×3=240种. 故选B．

点评：本题若按常规思维以人作为考虑对象，则需分“甲、乙两人都去”、“甲、乙都不去”、和“甲、乙只去一人”三种情况讨论，共有N=??++???=240种选择案例，解答起来显著复杂一些．
以上面的例子不难看出，对于直觉上需要分类讨论的试题不要急于进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以拟用合适的公式、法则，能否进行某种变形，可否转变常规的思维方式和解题对策来简化或回避讨论，解题历程中要善于以“正与反”、“主与次”、“分与合”、“形与数”、“进与退”、“特殊与一般”等辩证角度深思不足. 虽然上面陈述的介绍的九种策略看上去似乎均为一些雕虫小技，但在解题中若能恰当地运用，则对优化解题历程，简化运算起着很大的作用，不可小觑！