简述高考2012年浙江省高考数学试题赏析集

2012年浙江省数学高考试题，延续了浙江卷一贯清新、隽永的风格，简洁、明了、寓意深刻，令人回味.现仅举一偶，作为赏析.
理科卷第22题：
已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.
（1）证明：当0≤x≤1时，
①函数f（x）的最大值为2a-b+a；
②f（x）+2a-b+a≥0.
（2）若-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围.
第一，对于问题（1），常规的思路应该考虑求f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值，因为问题（1）中的②实际上要证明的是fmin（x）+2a-b+a≥0.因此需要对三次函数有一定的了解.
由于f′（x）=12ax2-2b，f（x）在区间[0，1]内或者是单调函数，或者只有唯一的极小值点x=，因此fmax（x）=max{f（1），f（0）}，而f（1）=3a-b，
f（0）=b-a，且f（1）-f（0）=4a-2b，因此
fmax（x）= f（1）， 2a-b≥0，f（0）， 2a-b<0，即fmax（x）=3a-1，2a-b≥0，b-a，2a-b<0，所以fmax（x）=2a-b+a .
当f（x）在区间[0，1]内单调时，f（x）+2a-b+a≥f（1）+f（0）=2a>0；当f（x）在区间[0，1]内不单调，即∈（0，1）时，0（1）当2a-b≥0，即0f（x）+2a-b+a ≥-+2a=2a（1-··）≥2a（1-）>0；
（2）当2a-b<0，即2a2a（6·-4··-1）.
设t=，则φ（）=1->0，即 f（x）+2a-b+a ≥0成立.
综上：当0≤x≤1时， f（x）+2a-b+a ≥0.
其次，由于函数f（x）含有两个参数a与b，可以通过a与b的关系转化为仅含一个参数的a问题.
考虑到0≤x≤1，（1）当2a-b≥0，即b≤2a时，f（x）+2a-b+a=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）；
（2）当2a-b<0，即2a2a-b+a=4ax3-2bx+
2b-2a=4ax3+2b（1-x）-2a≥4ax3+4a（1-x）-2a=2a（2x3-2x+1）. 设φ（x）=2x3-2x+1，则φ′（x）=6x2-2，因此φ（x）在区间[0，1]内有唯一的极小值点x=，所以φ（x）≥φ（）=1->0，所以f（x）+2a-b+a≥0.
（2）由题意可知：对于任意的x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，只要2a-b+a≤1，此时f（x）≥-（2a-b+a）≥-1，于是有：a>0，3a-1≤b≤a+1作出可行域，得-1第二，对于此题可以考虑将函数改成二次函数f（x）=4ax2-2bx-a+b，也是一个关于二次函数问题的好题.
我们同样可以证明：当0≤x≤1时，①函数f（x）的最大值为2a-b+a；②f（x）+2a-b+a≥0.而证明的方法完全可以移植.
若将第（2）小题改成：若-1≤f（x）≤1，对x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范围.
变量的区间从[0，1]变为[-1，1]时，解决问题的过程将会有什么变化？
对于函数f（x）=4源于：免费毕业论文www.618jyw.com
ax2-2bx-a+b，若-1≤f（x）≤1，x∈[-1，1]恒成立，则只需：
①1，-1≤f（1）≤1，-1≤f（-1）≤1，
或者②-1≤≤1，f（1）≤1，f（-1）≤1，b-a-≥-1.
由①得：b4a，3a-1≤b≤3a+1，-≤a+b≤其可行域见图2，所以-≤a+b<0，或0-4a≤b≤4a，3a-b≤1，a+b≤，2a-2≤b≤2a+2.
设g（x）=2x-2，则g′（x）=2-，令g′（x）=-1，得x=. 而g（）=-，其可行域见图3，故-≤a+b≤，综上-≤a+b≤.
第三；如果将试题中的（2）改成：已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b，若-1≤f（x）≤1对x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范围.那么情况会发生怎样的变化？
同样，因f′（x）=12ax2-2b，所以
（1）若b≤0时，f（x）≥0，f（x）是[-1，1]上的增函数，则只需f（-1）=-5a+3b≥-1，f（1）=3a-b≤1.即b≥a-，b≥3a-1.其可行域见图4，于是-（2）若b>0，由f′（x）=0，得x=±，若≥1，即b≥6a时，于是f（x）是[-1，1]上的减函数，只需f（-1）=3a-b≥-1，f（1）=-5a+3b≤1.即b≤3a+1，b≤a+.
且b≥6a，由b=6a，b=a+，得A（，），因此0（3）若<1，即0当x∈[-1，0]时，因x=-是f（x）的唯一的极大值点，于是f（-1）≥-1，且f（-）≤1，因此
2a-b+a≤1，-5a+3b≥-1，+b-a≤1.即3a-1≤b≤a+1，-5a+3b≥-1，+b-a≤1.现在遇到的困难是在现有中学教学范围内很难画出方程：+b-a=1所表示的曲线.我们可以利用信息技术处理这个问题.利用TI-nspire图形计算器可以帮助我们画出这个方程所表示的曲线.设a=x，b=y，将方程+b-a=1，可以转化成：8y3-27xy2+54x2y+54xy-27x3-54x2-27x=0，其中x>0；可用
f2（x）=zeros（8y3-27xy2+54x2y+54xy-27x3-54x2-27x，y）画出这个方程的曲线.（如图6）
解方程组：3a-b=1，+b-a=1.
得（3a-2）（3a+1）2=0，所以a=，b=1，于是-此问题的解决基于对于曲线+b-a=1的了解，是否还有其他方法，来解决此问题？
因为f（x）=（4x3-1）a+（1-2x）b，设t=1-2x，其中x=，4x3-1=（1-t）3-1，设g（t）=（1-t）3-1，则f（x）=g（t）·a+t·b，当-1≤x≤1时，-1≤t≤3，又设b=x，a=y，则问题变为：-1≤tx+g（t）y≤1，其中
y>0，-1≤t≤3.作出曲线y=g（t）的图象（图7）：设C（t，g（t））是函数y=g（t）图象上的一点，则直线tx+g（t）y=±1与直线OC（O为坐标原点）垂直，且在y轴上的截距为±，利用几何画板可作出直线tx+g（t）y=±1（如图8），观察与直线运动时的轨迹可知，其可行域为图中y轴上方的浅色区域.
当t>0时，由-x+3y=1，tx+g（t）y=1，得x==-=-1-≥1，所以当t=2时，xmin=1，即D点的坐标为（1，）；由3x-5y=1，当y=0时，x=-，即E点的坐标为（-，0），于是-