关于不等式对一道不等式证明题感慨

笔者曾在某个杂志上看到一道题，由2007年高中数学联赛题改编，原题如下：
求证：■+■+…+■<■
解答：■+■+…+■<■
？坩■+■+…+■≤■
？圳■+■+…+■-■≤0
源于：论文格式怎么写www.618jyw.com
令g（n）=■+■+…+■-■
由得g（n+1）-g（n）<0得g（n）max=g（1）=0
故原命题得证。（此种解法作为解法一）
后附有点评：这是一个加强不等式证明，加强不等式就是为了证明一个不等式A，而去证明另一个不等式B，若B成立则A显然成立，那么B就是A的加强不等式。加强不等式是一种数学方法，为了证明一个不等式，通常现有的方法无法将公式套上去时，可以引入加强不等式，具体情况还需有充足的做题经验才能准确判断应如何加强这个不等式使得这个不等式可以直接套入公式里。这需要灵感与观察，那个加强的式子通常与原来的数列在形式上有千丝万缕的联系。
但本题真的就只能凭经验，没有线索可寻么？
要证明上题，应找一个小于■且递增的式子f（n），并且f（n）增长的比左边快即可。也即■+■+…+■-f（n）要为单调递减的，进而由左边分母的形式联想到f（n）=■（或■）。又由n=1时，令■+■+…+■-f（n）=0得x=1（或y=2），故可得到f（n）=■（或f（n）=■）后继证明类同解法

一、这里不再证明。（此种解法作为解法二）

但证完以后我又想到联赛题的右边为■，本题为■，那么该题左式是否还有更小的值呢？换言之左式的极限能求出来么？因为左式是递增的。
故f（n）<■f（n）=■■■+■+…+■
=■■dx=1n（1+x）■■=1n 2<■
从而得到解法三。因此本题最精确的解法应是解法

三、利用积分定义来证明。事后，我在思考之余又发现了其他两种解法。

解法四：
令an=■+■+…+■，an+1-an=bn
故bn=■-■=■
∴b1+b2+…bn-1=an-a1
即an-■=■+■+…+■
∴an=■+（■+■+…+■）
an<■+（■+■+…+■
∴上述两式相加得
2an<■+（■+■+■+…+■=■+（1-■）<■
∴an<■
解法五：
令an=■+■+…+■
①n=1时，显然成立
②n≥2时
a■■=（■+■+…+■）■
≤■+■+…+■1■+1■+…+1■
=n■+■+…+■
=n（■-■）=■<■
∴an<■
故此，笔者感慨在高中阶段讲解数学题时，教师不能只是让学生明白用某种方法可以解题，而要让学生体会到是如何“想到”解法的。教师讲课不能“照本宣科”或“照幕宣科”。教师要用自己的体会“讲”书本上没有的内容，诸如，自己的研究成果与探究经历、知识形成的过程等等。这样做不仅可以使课堂教学具有吸引力，而且可以帮助学生加深对教学内容的理解，更重要的是可以活跃和启发学生的思维，培养学生的创新能力。所以当教书匠容易，但要当优秀的教师，需要我们每一位教师付出更辛勤的劳动，让我们的思维不时迸发出智慧的火花。
（责编 高伟）