简论解题例谈整体思想在数学解题中运用

更新时间:2024-03-17 点赞:31779 浏览:145575 作者:用户投稿原创标记本站原创

摘要:整体思想是一种重要的数学思想方法,它是从整体上把握全局,注重问题的整体结构和特征,分析条件和结论的联系,从而使问题得以解决,常能化繁为简,变难为易,使解题过程显得简洁明快。
关键词:数学思想 整体思想
数学是一门具有严密逻辑性的基础学科,随着人类的进步和科学的发展,人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求,因此,数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质,有意识地贯穿数学思想方法,激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的,使学生把握一些解题的规律和方法,这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来,使他们从中得到一些乐趣,在乐中求新,在新中获得更大的收益,其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。
整体思想作为一种重要的思想方法,它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。学生若能灵活运用整体思想,常常能化繁为简,变难为易,提高解题的准确性和灵活性。整体思想,就是在处理与解决问题时,胸怀整体的全局,暂时忽略或模糊问题的某些局部,注重问题的整体结构和整体特征,从整体上把握解决问题的方向,从整体上分析条件和结论的联系,并作出决策。对于有一些数学问题,我们如果从局部入手,难以各个突破,但若能从宏观上进行整体分析,运用整体思想方法,则能化零为整,化分散为集中,使解题过程显得简洁明快,体现和谐美和数学美。
下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。

一、在求函数值中的应用

例:已知函数f(x)=x3+x+sinx+2,且f(-2)=8
则:f(2)=( )
A.10 B.6 C.-4 D.8
解析:由于y=x3,y=x,y=sinx都是奇函数,所以将x3+x+sinx看作一个整体,
故设g(x)=x3+x+sinx,(此函数为奇函数)所以f(x)=g(x)+2
∵f(-2)=8 ∴f(-2)=g(-2)+2
∴g(2)=-6
∴f(2)=g(2)+2=-4,故选C。

二、在函数单调性中的应用

例:求函数y=(x2+5)/(x2+4)1/2的最值。
解析:将(x2+4)1/2看作一个整体,则:
y=(x2+5)/(x2+4)1/2=(x2+4)1/2+1/(x2+4)1/2
若用均值不等式,则:y≥2,当且仅当(x2+4)1/2=1/(x2+4)1/2时取等号。
即:x2+4=1,x2=-3时取等号,这是不可能的。
故考虑用单调性法。
设(x2+4)1/2=t,则:t≥2。考察函数y=t+1/t,
所以y1-y2=(t1-t2)*(t1t2-1)/t1t2<0,则此函数为增函数。
∴当t=2时(即x=0时),ymin=5/2。

三、求函数最值中的应用

例:求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0解析:f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2
=e2x+e-2x-2a(ex+e-x)+2a2
将ex+e-x看作一个整体进行变形,则:
f(x)=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2
=[(ex+e-x)-a]2+a2-2
∵ex+e-x≥2,0 怎样写毕业论文www.618jyw.com
 ∴当ex+e-x=2时,即x=0时
f(x)有最小值是2(a-1)2。

四、在数列解题中的应用

例:已知共有n项的等差数列的前4项的和为26,后4项的和为110,并且所有项的和26,求n的值。
解析:后4项的和用首项和公差表示时非常复杂,不妨看成以an为首项,以(-d)为公差的等差数列,则:
4a1+(4*3/2)*d=26(1)
4an+(4*3/2)*(-d)=110(2)
n*(a1+an)/2=187(3)
(1)+(2)得:4(a1+an)=136,即:a1+an=34
将上式代入(3)式得:n=11。
说明:如果不把a1+an看作一个整体,而是解关于a1,d,n的方程组来求得n,那么这个题就复杂多了。

五、在求函数值域中的应用

例:设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围。
分析:可以将f(-2)用f(-1)和f(1)表示,再根据f(-1),f(1)的范围来求解。
解:由已知条件可知:
f(-1)=a-b(1)
f(1)=a+b(2)
由(1),(2)解得:
a=1/2[f(-1)+f(1)]
b=1/2[f(1)-f(-1)]
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)
∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10
故:5≤f(-2)≤10。
说明:如果此题不把f(-1)和f(1)都看作整体,而是利用f(-1)和f(1)的取值范围求得a和b的取值范围,再求得f(-2)的取值范围,那么就放大了f(-2)的取值范围,这种解法是错误的。
对于数学这门学科的学习,重在掌握数学思想和解题方法,做到举一反三,触类旁通,不能靠机械记忆,这就对数学教师的专业素养提出了很大的挑战,教师需要将各种各样的题型,分门别类,提炼出精彩的解题方法,巧妙地展示给学生。教师要将基础知识和数学思想方法,贯穿到数学解题技巧中去,以提高学生的数学意识和应用意识,从而提高课堂效率和教学质量。真正好的教学方法,不是单纯地对课本知识的解析,而是使学生掌握更深层次的解题方法和数学思想,将学生从题海中解脱出来,使他们能够轻松愉快地学习,激发他们的学习兴趣和求知,达到优化思维的目的,从而使学生取得更快更大的进步。
(责编 高伟)
相关文章
推荐阅读

 发表评论

共有3000条评论 快来参与吧~