有关于表征基于图形表征“鸡兔同笼”理由教学实践

在一次专家讲座中有幸聆听了关于“鸡兔同笼”的图形表征观点阐述，这样的表示方法运用在教学实践中能取得更好的效果吗？为此我们进行了一些有益的探索，大胆进行教学实践，发现图形表征手段可以较好地促进学生对方法的理解。

一、“鸡兔同笼”问题的教学设计路径

对于这一课时的教学路径设计，我们基本按照教材意图，走教材体现的路径，仅仅将“列表法”替换为“画脚法”，其余素材基本不变。第一步，从“鸡兔同笼”的例题引入，认识到这是我们面临的一个新问题。第二步，研究问题的方式是多样的，为了方便研究，对例题数据进行简化处理。第三步，提供基本的图片，进行一些必要的解释，请学生“画一画、划一划”，并发现一些规律。第四步，在学生发现规律的基础上，独立探究新方法。在此基础上，组织学生交流，并领会同伴的方法。第五步，巩固练习，解决《孙子算经》上的原题。

二、“鸡兔同笼”问题的教学片段摘记

片段一：“画一画、划一划”开始部分
生1：老师，我不会画鸡，更不会画兔。
生2：不用画鸡，也不用画兔，只要简单画鸡头鸡脚和兔头兔脚就可以了。
师：你的简单法是怎样的呢？
生2：圆圈表示头，鸡下面画两竖表示两只脚，兔下面画四竖表示四只脚。
师：（出示图a）这个图片表示什么？谁能看懂？
生3：6个正方形。
生4：6只鸡或兔，一个正方形表示一只鸡或兔。
生5：应该是表示一只鸡和一只兔，左边一列表示一只鸡，2个正方形表示鸡有两只脚，右边一列表示一只兔，4个正方形表示兔有四只脚。
师：（出示图b和图c）这两个图片又分别表示什么，谁能看懂？
生6：图b表示8只兔有32只脚，图c表示8只鸡有16只脚。
生7：我不完全同意你的观点，我认为虚线表示“不确定”，这两个图表示的就是例题1，鸡兔共8只，但脚还没有画好。
师：那怎样才算画好？
生8：图b显然脚数大大超过26只，要划去一些，图c显然脚数不足26只，要再画上几只。
……
我的理解：以上教学事实说明，学生可以通过这样的图形去理解“鸡兔同笼”的问题，这样的图形比用圆圈和线段表示的方法更简单，凌乱的线段之“脚”显然不如连成一片的方框之“脚”，这样的“脚”显然更富数学意义；这样的图形更能说明问题，学生可清晰地知道，一只鸡与一只兔的转换，脚数改变2，这样的“画一画、划一划”的方法具有现实的教学意义与价值。我坚信，二年级学生适用的直观手段，对于五年级学生来说，适用性是值得怀疑的，是需要改进的。
片段二：其他方法的自主探究后的交流之一
生1：我是从鸡兔各半的情况开始想的，3×8=24只脚，26-24=2只兔，兔比鸡多两只，所以鸡有（8-2）÷2=3只，兔有5只。
师：3×8=24只脚，哪种动物有3只脚？（生大笑，以为该同学说错了）
生1：没错啊，我说鸡兔各半的话，把兔子4只脚中的一只脚看做对应的一只鸡的脚，这样这对鸡和兔就各3只脚。题中鸡兔共26只脚，多了2只脚，说明这两只兔子没有对应的鸡，没有借出自己的1只脚，所以兔比鸡多2只。
师：你们听明白了吗？我们一起来画个图（见前，图略，教师在画出图形后，进一步提出“三脚法”的另一种情况：按1头3脚计算，脚数比已知脚数多。面对老师的图形表示，学生惊叹：哇，原来是这样的！）
……
我的理解：想不到“三脚法”被第一个提出，为什么？我和那些语文老师交流这类问题时，源于：如何写论文www.618jyw.com
语文老师一般也是从鸡兔各半或很接近的情况开始的，难道是中庸之类的哲学影响在发挥作用？ 通过画图，为学生展示了这种方法的几何意义，学生更能接受这种方法。
片段三：其他方法的自主探究后的交流之二
生1：我们刚学过方程，所以我选用方程的方法。
解：设鸡有x只，则兔有（8-x）只，根据题意得：2x+4（8-x）=26，但是这个方程我解不好。
师：谁能帮帮他？
生2：第一步去括号，2x+32-4x =26，交换2x与32的位置，得32+2x -4x =26，加2x减4x相当于减2x……
师：还可以怎样列方程？每人做一做……
生3：我的方程是4x+2（8-x）=26，我发现这样列方程比较容易解。
师：好的，原来把脚数多的动物只数设为未知数，解方程比较方便，我们能把这个方程用图形来表示一下吗？（略，见前。）
……
我的理解：方程法应该是本课的学习重点，但用方程法解决问题时学生解方程的能力，往往被教师疏忽。我之所以要让全体同学用方程的方法练一练，不仅要求每个学生掌握这种方法，而且要让学生明白，把脚多的动物只数设为未知数，解方程时可以避免出现学生现有知识水平难以支撑甚至不能支撑的情况，这种方法应该是“鸡兔同笼”问题教学的重点方法。通过画图的方法，学生明白了两个不同的方程表达的意义，明白如何设未知数可以给自己解决问题带来方便。
片段四：《孙子算经》的论战
师：今天我们学习了“鸡兔同笼”问题，让我们看看《孙子算经》原题“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四脚，问鸡兔各几何”，你能用现在的话来表述吗？
生：鸡兔35头，94脚，鸡、兔各几只？
师：你会几种方法？你喜欢什么方法？
生1：我会假设法和方程法，我喜欢方程法。解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只，方程是4x+2（35-x）=94。
生2：方程书写麻烦，我还是喜欢“三脚法”，3×35=105只，105-94=11只，说明鸡多11只，（35+11）÷2=23只，兔有12只。生3：方程书写麻烦，我也还是喜欢假设成“全部是鸡”，比实际少多少脚就换相应的兔。35×2=70（只），94-70=24（只），24÷2=12（只），兔12只，鸡23只。
生4：我还是喜欢画图法的。
师：你准备画35列正方形方框？
生4：那也不必，用省略号表示一下也可以。我看题目中的头数与脚数，我估计鸡多兔少，我先省略20只鸡，5只兔，共60只脚，余下10头35脚，这样也可以画出来。
师：你对画图的方法进行了改进，老师觉得你很有创造精神。就使用是否方便的角度而言，你觉得选用什么方法比较方便？这个问题每个同学自己想一想。
……
我的理解：从哪里来，到哪里去，我们回到了课的出发点。但是，这时的学生不仅能解决这一问题，而且能选用自己喜欢的方法解决，这是一个更高的学习出发点。学生嘴上的选择，出于多种原因，有时候不一定与真实的选择相符，这就需要老师的引导，尽量使学生走上“通式通法”之路。有一定创新的画图法是好的，有一定古典人文价值的假设法也是好的，但我认为就是学生认为“书写麻烦”的方程法，才是学生最应该掌握的方法。

三、“鸡兔同笼”问题的教学思考

以新的图形表征方法为依托，这一问题的一次教学尝试获得了一定的成功，我还希望在下次的教学中能继续用这一方法，其他老师也能采用这一方法。
在“画脚法”这一环节中，我们发现，与原来用圆摘自：本科毕业论文评语www.618jyw.com
圈与线段表示的方法相比，用正方形小方格列表示这一方法更具可操作性，更富数学化倾向，若一定要选用“画脚法”，则可以思考我们的方法。
在所有的方法中，方程法是学生应该掌握的基本方法。通过图形表征可以使学生进一步明白两种方程的意义，并乐意将脚多的动物只数设为未知数。要使学生体会到，就思考过程而言，这种方法最简单。
无论是什么方法，都适用于所有情况，并都是可以实现图形表征的。通过图形表征，可以促进学生进一步认识、掌握这一方法。学生乐意用哪种方法，就用哪种方法，并通过图形表征，形成比较清晰的认识。
预设的方法没有为学生所发现，我们可以提供该种方法，并进行图形表征。选择放弃也是一种恰当的行为，我们需要学生掌握的是以方程法为基础的一两种具有“通式通法”性质的基本方法。?