浅谈解题例谈中学数学经典解题策略

1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
例

1.二次三项式x2-4x-1写成a（x+m）2+n的形式为

解：原式=x2-4x+4-5=（x-2）2-5.
点评：配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式“a2±2ab+b2”，判断什么是：“a”或“b”或“ab”，怎样从a2、2ab这两项去找出“b”，或从a2、b2这两项去找出2ab”，或从2ab去找出a2和b2”.同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循.

2、因式分解法

有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
例

2.5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
例

3.解方程组：（x+5）+（y-4）=8；（x+5）-（y-4）=4。

解：令x+5=m，y-4=n，原方程可写为：m+n=8，m-n=4。解得m=6，n=2。所以x+5=6，y-4=2所以x=1，y=6。
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5，y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛摘自：学术论文网www.618jyw.com
的应用。
例4.关的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-1=0有实数根，则的取值范围是______
解：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有b2-4ac≥0
解得 a=1，b=-2（K+1），c=k2-1
∴b2-4ac=[-2（k+1）]2-4×1×（k2-1）=8k+8
因为方程有实数根，∴b2-4ac≥0，即：8k+8≥0，∴k≥-1

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
例

5.已知函数y= 的最大值为7，最小值为-1，求此函数式。

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
此题也可由解集（-1，7）而设（y+1）（y-7）≤0，即y2-6y-7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。
另外，还有以下方法，由于版面有限不再例举。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。