论解题高中数学解题中分类讨论对策探讨

摘 要：在高中数学解题中，分类讨论是一个十分重要的解题策略，展现了归类整理与化整为零思想与方法。本文作者分析了高中数学分类讨论含义与解题步骤，探究了分类讨论在高中数学中的常见运用。
关键词：高中数学解题；分类讨论策略；解题步骤；常见运用
1992-7711（2012）20-070-1

一、高中数学分类讨论含义与解题步骤

分类讨论不但是一个常见思想方法，也是一个重要的解题方法，即对数学问题研究与解题过程中，依据数学对象的自身属性共同点，可以把数学对象化为不同类型，再逐类加以研究、解决。其具体步骤如下：①明确讨论对象与研究全域；②科学分类，根据某一标准于比较基础上进行分类。“比较”为分类前提，而“分类”为比较结果。同时，分类时，做到不遗漏、不重复；③逐类进行讨论与求解；④小结归纳，整合结论。通过类讨论，认真比较后加以准确分类，从而将复杂问题得以严密化、完整化、清晰化的解答，提高解题效率。

二、分类讨论在高中数学解题中的运用

1.在数学运算与数学证明中的运用。

在数学证明或运算时，若不加以分类讨论，有时则无法证明结论，因此，我们需要对这些情况进行分类讨论。
例如：已知{an}为首项是2，其公比是12的等比数列，而Sn是其前n项和。请求①以Sn来表示Sn+1；②是否存在自然数k与c，使Sk+1-cSk-c>2成立。
在解答问题②时，需进行分类讨论，也就是对双参数k与c加以分类讨论，进而得出结论。
解析 ①根据Sn=4（1-12n），可得出Sn+1=4（1-12n+1）=12Sn+2，其中，n∈N+。（2）若使Sk+1-cSk-c>2，仅需c-（32Sk-2）c-Sk<0
∵Sk=4（1-12k）<4
∴Sk-（32Sk-2）=2-12Sk>0，（k∈N+）
∴只需32Sk-2∵Sk+1>Sk，（k∈N+） ①
∴32Sk-2≥32S1-2=1
又Sk<4，所以需使①成立，c则只能为2或3
若c=2，∵S1=2，∴当k=1时，那么c若k≥2，∵32S2-2=52>c，
根据Sk∴若k≥2，32Sk-2>c，从而①不成立
若c=3，∵S1=2，S2=3，
∴当k=1，k=2时，c∵32S3-2=134>c，又32Sk-2<32Sk+1-2
∴当k≥3时，32Sk-2>c，从而①不成立
∴不存在自然数k与c，让Sk+1-cSk-c>2成立

2.有关不确定图形的运用。

在数学解题中，若图形、图像或点的位置不大明确，亦或有几种可能性，则需分类讨论。如二次函数图像，其不同定点与最值等；不同的空间图形及其位置关系；直线与曲线，曲线与曲线间的关系，如相离、相切与相交；直线之间的三种关系，包含重合、平行、相交等。
例如：若k∈R，方程（8-k）x2+（k-4）y2=（k-4）（8-k）所表示的曲线是什么？对该题学生易于想到将原方程变为x2k-4+y28-k=1.然而这一变形则需注意k≠8且k≠4，而8-k与k-4的正负会导致曲线类别的不同，所以需要对k∈R加以分类讨论。此外，还需注意到其中的分界点，也就是k=6，所以正确的分类如下。
解题：1）当k=4时，原方程变成4x2=0，∴x=0，那么方程表示的为直线。
2）当k=8时，原方程变成4y2=0，∴y=0，那么方程表示的为直线。
3）当k≠8且k≠4时，方程变成x2k-4+y28-k=1
①若k<4，那么方程表示的为双曲线；②若4此外，还有在数学概念与数学定义上的运用，亦或在函数性质、数学公式、定理的限制条件上的运用。某些数学概念则是以分类进行定义的，亦或有一定的条件限制，当碰到这些源于：大专毕业论文范文www.618jyw.com
问题时，则需分类讨论。如直线斜率为k=tanα，其中的限制条件是α≠π2等。因而在设直线方程时，通常可以设直线斜率为k.但当直线垂直x轴时，此时直线没有斜率，则需另行分析。同时，在使用数学性质、数学法则、数学定理等有一定的限制条件，所以，在解题过程中，应考虑题设是否与数学公式、定理等条件相符合，这些情形常常需要分类讨论。如果直线于两轴上的截距相同，一般可设直线方程：xa+ya=1，然而当a=0时，则需另行分析。