研讨解题例说如何进行数学解题过程反思
更新时间：2024-01-27
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摘 要：反思是数学解题中的最重要的环节，是提高解题能力的一条重要途径。在解题中进行反思的方法有：对题意的理解过程进行反思；对解题的思路形成过程进行反思；对解题的表述进行反思。
关键词：数学；反思；解题过程
1992-7711（2012）20-092-2
反思是指主动以严肃的态度持续不断地、反复深入地对已有的结论、认识和观念，以及它们形成过程进行周密、持续且有批判性的再思考，以求得新的、深入的认识，或提出疑问作为新的思考的起点。解题反思是对解题活动的反思，它是对解题活动的深层次思考，是进一步深化、整理和提高的过程。它是数学解题中的最重要的环节，是提高解题能力的一条重要途径。在解题中进行反思的方法有：对题意的理解过程进行反思；对解题的思路形成过程进行反思；对解题的表述进行反思。
例1 定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f（x）=0在闭区间[-T，T]上的根的个数记为n，则n可能为（）.
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
思路分析：（1）从符合条件的特殊函数来观察分析；（2）根据题设条件，将根一一找出。
解：解法1：根据题设条件不妨取f（x）=sinx，T=2π，sinx=0在闭区间[-2π，2π]上的根的个数是5个，从而选D.
解法2：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，又T为周期，故f（T）=f（-T）=0，又f（-T2）=-f（T2），f（-T2）=f（-T2+T）=f（T2），故f（T2）=f（-T2）=0，∴f（x）=0在闭区间[-T，T]上至少有5个根，选D.
学生思维受阻的表现：
（1）无法联想f（x）=sinx是满足题设条件的具体函数；
（2）f（x）=0是一个抽象方程，不是具体方程，不知如何求根；
（3）难以结合奇函数和周期函数两个条件发现T2和-T2；
（4）源于：论文格式字体www.618jyw.com
题中问方程的根的个数“可能为”，学生有可能会联想其他的情况，比如取f（x）=sinx，T=4π，发现根有9个根后不知怎么办了。
对学生思维受阻原因的分析反思：
反思（1）学生在审题时不能将一般问题与特殊例子联系起来，思维显得呆板；
反思（2）题中未给出具体的解析式，方程也就虚无缥缈，这与常规的方程求解问题有一定的差距；
反思（3）从未考虑过由定义域为R上的奇函数推出f（0）=0，T2和-T2也需推理才能发现，学生推理能力不足也是思维受阻的原因之一；
反思（4）T有多个可能的值，题目的问法已经暗示，自己却不知回头看题。
例2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意ca=62a=3解得b=1，所求的椭圆的方程为x23+y2=1.
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=3.
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由已知得|m|1+k2=32，得m2=34（k2+1）把y=kx+m代入椭圆方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，有x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3（m2-1）3k2+1 |AB|2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）[36k2m2（3k2+1）2-12（m2-1）3k2+1]=12（k2+1）（3k2+1-m2）（3k2+1）2=3（k2+1）（9k2+1）（3k2+1）2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4 （k≠0）当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立
当k=0时，|AB|=3
综上所述|AB|max=2，当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=12|AB|max×32=32
反思（1） 求△AOB面积的最大值一定要转化为求|AB|的最大值吗？这是在反思第
反思（3） 在求|AB|2的表达式时直接使用二次方程的根与系数的关系保险吗？先计算判别式Δ=（6km）2-4（3k2+1）（3m2-3）=…=3（9k2+1）
然后求得 （x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=Δ（3k2+1）2=3（9k2+1）（3k2+1）2会增加计算量吗？对|AB|2的表达式降次时，为什么要化为3+g（k）的形式？“结论也是已知信息”，得出f（k）=3+g（k）≤4之后，对f（k）的放大变形有什么新的启示？
反思（4） 即使使用直线方程的斜截式求|AB|2的最大值时，斜率k一定要做分母吗？对k的“两个层面三种情况”讨论是必不可少吗？
反思（5） 将问题一般化。对一般化的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）：坐标原点O到直线l的距离32应一般化为怎样的表达式？而|AB|的最大值、△AOB面积的最大值又应一般化为怎样的表达式？
这些反思，将把我们的认识引向深入。至于引向怎样的深入，以后再谈。
的表述进行反思。反思运算是否正确，推理是否严密，有无漏洞？反思语言表述是否简明、准确、严谨、完整？解答过程能否优化？哪些过程是多余的？哪些过程是可以合并的？哪些步骤是可以转化的？等等，并对发现问题及时进行改正或纠正。
例3 在△ABC中，已知a+2b-2c+3=0，a2-a-2b-2c=0，求△ABC最大角的度数.
解：由已知有2b+2c=a2-a（1）
2c-2b=a+3（2）
求得b=（a+1）（a-3）4（3）
c=a2+34，b>0
∵b>0 ∴a>3 c-a=a2+34-a=（a+1）（a-3）4>0
∴c>a 又由（2）可知c>b
∴∠C最大
由余弦定理
cosC=a2+b2-c22ab=16a2+[（a+1）（a-3）]2-（a2+3）28a（a+1）（a-3）=（a+1）2（a-3）2-（a2-1）（a2-9）8a（a+1）（a-3）=-12
故最大的角C=23π
反思（1） “C=23π”已兼有判断出“∠C最大”功能。因而那些仅为推出“∠C最大”的中间环节均可删去，于是有如下的改进解法：
由已知得 b=（a+1）（a-3）4 c=a2+34
由余弦定理
cosC=a2+b2-c22ab=16a2+[（a+1）（a-3）]2-（a2+3）28a（a+1）（a-3）=（a+1）2（a-3）2-（a2-1）（a2-9）8a（a+1）（a-3）=-12
∵三角形内角和为π ∴最大的角C=23π
反思（2） 上述解法删去了一些步骤，但解出b，c又消去，这说明解答过程还可以进一步简化。事实上，由cosC=a2+b2-c22ab=a2+（b+c）（b-c）2ab （4）
把（1）、（2）、（3）式代入即可得到 cosC=-12
反思（3） 把已知两式分拆为（1）、（2）、（3）式后又在（4）式中进行组合，这种“先拆后组”的步骤是必要的还是多余的呢？注意这时“结论也是已知信息”，
cosC=-12等价于c2=a2+b2+ab（5）
能否从已知两式中直接推出（5）呢？
注意到已知两式与（5）式的结构特点和次数差异，这一点是能办到的。于是解法可作进一步改进：
由已知两式得（a+2b）-2c=-3
（a+2b）+2c=a2
两式相乘有a2+b2-c2=-ab，即c2=a2+b2+ab，由余弦定理得C=23π，∠C就是△ABC的最大值.
关键词：数学；反思；解题过程
1992-7711（2012）20-092-2
反思是指主动以严肃的态度持续不断地、反复深入地对已有的结论、认识和观念，以及它们形成过程进行周密、持续且有批判性的再思考，以求得新的、深入的认识，或提出疑问作为新的思考的起点。解题反思是对解题活动的反思，它是对解题活动的深层次思考，是进一步深化、整理和提高的过程。它是数学解题中的最重要的环节，是提高解题能力的一条重要途径。在解题中进行反思的方法有：对题意的理解过程进行反思；对解题的思路形成过程进行反思；对解题的表述进行反思。
一、题意理解的反思
题意的理解就是从题目中获取达到解题目标的信息，即明确条件是什么，结论是什么，分析条件与条件，条件与结论之间有什么联系，并从中获取从何处下手，向何方前进的信息。对题意的理解过程进行反思，就是在解题活动完成以后，对自己最初理解题意过程中是怎样“获取信息”进行再思考。比如获得过哪些信息？遗漏过哪些信息？为什么会遗漏这些信息？题中哪些信息自己比较清楚？哪些信息自己还不清楚？为什么不清楚？对条件和结论之间的某些关系为什么不能发现？关系的转化是否有错误？为什么会发生这些错误？以后在理解题意是应该怎么做？等等。不要小看对题意理解的反思，通过反思能使学生在理解题意方面寻找规律，从而积累更多的解题经验，这也是元认知方面的训练。例1 定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f（x）=0在闭区间[-T，T]上的根的个数记为n，则n可能为（）.
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
思路分析：（1）从符合条件的特殊函数来观察分析；（2）根据题设条件，将根一一找出。
解：解法1：根据题设条件不妨取f（x）=sinx，T=2π，sinx=0在闭区间[-2π，2π]上的根的个数是5个，从而选D.
解法2：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，又T为周期，故f（T）=f（-T）=0，又f（-T2）=-f（T2），f（-T2）=f（-T2+T）=f（T2），故f（T2）=f（-T2）=0，∴f（x）=0在闭区间[-T，T]上至少有5个根，选D.
学生思维受阻的表现：
（1）无法联想f（x）=sinx是满足题设条件的具体函数；
（2）f（x）=0是一个抽象方程，不是具体方程，不知如何求根；
（3）难以结合奇函数和周期函数两个条件发现T2和-T2；
（4）源于：论文格式字体www.618jyw.com
题中问方程的根的个数“可能为”，学生有可能会联想其他的情况，比如取f（x）=sinx，T=4π，发现根有9个根后不知怎么办了。
对学生思维受阻原因的分析反思：
反思（1）学生在审题时不能将一般问题与特殊例子联系起来，思维显得呆板；
反思（2）题中未给出具体的解析式，方程也就虚无缥缈，这与常规的方程求解问题有一定的差距；
反思（3）从未考虑过由定义域为R上的奇函数推出f（0）=0，T2和-T2也需推理才能发现，学生推理能力不足也是思维受阻的原因之一；
反思（4）T有多个可能的值，题目的问法已经暗示，自己却不知回头看题。
二、思路形成的反思
解题思路的行程就是把题目中捕捉到的有关信息与从储存机构中提取有关的信息结合起来，进行加工、重组与再生的过程。对思路形成的反思，就是在解题结束后回顾自己是如何对信息进行加工、重组与再生的。具体地说，就是回忆自己从解题开始到解题结束的每一步的思维活动。一开始是怎么探索的？选择的是哪条途径？走过哪些弯路？发生过什么错误？后来有没有作出调节？作出了怎样的调节？是什么原因使我做出这样的调节？有没有导致问题的彻底解决或对此起到很大的作用？我的思考与老师、同学的思考有什么不同？其中的差距在哪里？造成这样的差距的主要原因是什么？解题的关键在哪里？自己在探索思路形成过程中有哪些成功与失败的地方等等。长期坚持这样的反思，就可以总结出带有规律性的经验，其中有些是解题的思想方法，有些是解题的策略，有些是解题的元认知知识，还有非认知方面的东西，他们都是今后解题的行动指南。另外这样的反思有利于自己思维监控能力的提高，更是一种学习能力的培养。例2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意ca=62a=3解得b=1，所求的椭圆的方程为x23+y2=1.
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=3.
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由已知得|m|1+k2=32，得m2=34（k2+1）把y=kx+m代入椭圆方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，有x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3（m2-1）3k2+1 |AB|2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）[36k2m2（3k2+1）2-12（m2-1）3k2+1]=12（k2+1）（3k2+1-m2）（3k2+1）2=3（k2+1）（9k2+1）（3k2+1）2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4 （k≠0）当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立
当k=0时，|AB|=3
综上所述|AB|max=2，当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=12|AB|max×32=32
反思（1） 求△AOB面积的最大值一定要转化为求|AB|的最大值吗？这是在反思第
1、2步，将导致我们去寻找△AOB面积的更多表达式，但是这个表达式会是什么呢？
反思（2） 即使是求（x1-x2）2、（y1-y2）2及|AB|最大值，一定要用直线方程的斜截式吗？这将导致我们去寻找直线方程的更多的表达式，但是哪个表达是恰当呢？反思（3） 在求|AB|2的表达式时直接使用二次方程的根与系数的关系保险吗？先计算判别式Δ=（6km）2-4（3k2+1）（3m2-3）=…=3（9k2+1）
然后求得 （x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=Δ（3k2+1）2=3（9k2+1）（3k2+1）2会增加计算量吗？对|AB|2的表达式降次时，为什么要化为3+g（k）的形式？“结论也是已知信息”，得出f（k）=3+g（k）≤4之后，对f（k）的放大变形有什么新的启示？
反思（4） 即使使用直线方程的斜截式求|AB|2的最大值时，斜率k一定要做分母吗？对k的“两个层面三种情况”讨论是必不可少吗？
反思（5） 将问题一般化。对一般化的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）：坐标原点O到直线l的距离32应一般化为怎样的表达式？而|AB|的最大值、△AOB面积的最大值又应一般化为怎样的表达式？
这些反思，将把我们的认识引向深入。至于引向怎样的深入，以后再谈。
三、解题表述的反思
解题计划的最后落实就是解题表述。初始的解题表述一般是比较粗糙的，有时还隐含错漏，因此解答完题目后的一个任务就是要对解题摘自：学术论文翻译www.618jyw.com的表述进行反思。反思运算是否正确，推理是否严密，有无漏洞？反思语言表述是否简明、准确、严谨、完整？解答过程能否优化？哪些过程是多余的？哪些过程是可以合并的？哪些步骤是可以转化的？等等，并对发现问题及时进行改正或纠正。
例3 在△ABC中，已知a+2b-2c+3=0，a2-a-2b-2c=0，求△ABC最大角的度数.
解：由已知有2b+2c=a2-a（1）
2c-2b=a+3（2）
求得b=（a+1）（a-3）4（3）
c=a2+34，b>0
∵b>0 ∴a>3 c-a=a2+34-a=（a+1）（a-3）4>0
∴c>a 又由（2）可知c>b
∴∠C最大
由余弦定理
cosC=a2+b2-c22ab=16a2+[（a+1）（a-3）]2-（a2+3）28a（a+1）（a-3）=（a+1）2（a-3）2-（a2-1）（a2-9）8a（a+1）（a-3）=-12
故最大的角C=23π
反思（1） “C=23π”已兼有判断出“∠C最大”功能。因而那些仅为推出“∠C最大”的中间环节均可删去，于是有如下的改进解法：
由已知得 b=（a+1）（a-3）4 c=a2+34
由余弦定理
cosC=a2+b2-c22ab=16a2+[（a+1）（a-3）]2-（a2+3）28a（a+1）（a-3）=（a+1）2（a-3）2-（a2-1）（a2-9）8a（a+1）（a-3）=-12
∵三角形内角和为π ∴最大的角C=23π
反思（2） 上述解法删去了一些步骤，但解出b，c又消去，这说明解答过程还可以进一步简化。事实上，由cosC=a2+b2-c22ab=a2+（b+c）（b-c）2ab （4）
把（1）、（2）、（3）式代入即可得到 cosC=-12
反思（3） 把已知两式分拆为（1）、（2）、（3）式后又在（4）式中进行组合，这种“先拆后组”的步骤是必要的还是多余的呢？注意这时“结论也是已知信息”，
cosC=-12等价于c2=a2+b2+ab（5）
能否从已知两式中直接推出（5）呢？
注意到已知两式与（5）式的结构特点和次数差异，这一点是能办到的。于是解法可作进一步改进：
由已知两式得（a+2b）-2c=-3
（a+2b）+2c=a2
两式相乘有a2+b2-c2=-ab，即c2=a2+b2+ab，由余弦定理得C=23π，∠C就是△ABC的最大值.
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