分析学问剪剪拼拼有学问

问题： 请你把任意一个凸四边形剪成四块，使这四块能拼接成一个矩形.
方法： 如图1所示，ABCD是一个凸四边形.分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、Q、N、P，连结MN；再分别过点P、Q作PH⊥MN，QH⊥MN，垂足分别为H、H.此时，四边形ABCD被分割成四块.把四边形AMHP绕点P逆时针旋转180°，把四边形CNHQ绕点N顺时针旋转180°，再把四边形BQHM沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图2所示的矩形.
你知道如此剪拼能成功的道理吗？（可连结线段PM、PN、QM、QN得“中点？荀PMQN”，证得MH=NH，MH=NH，进而分析可得.）事实上，在图1中，当H为MN上任意一点时，连结PH，再过点Q作QH∥MN，交MN于点H（如图3）.在拼法不变的情况下，可得到平行四边形（如图4）.
继续思考，你能用其它方法将任意一个凸四边形剪成四块，使这四块能拼接成平行四边形吗？试试看.
如图5所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、Q、N、P，连结MN、PQ交于点H.此时，四边形ABCD被分割成四块.把四边形AMHP绕点P逆时针旋转180°，把四边形CNHQ绕点N顺时针旋转180°，再把四边形BQHM沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图6所示的平行四边形.
如图7所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、Q、N、P，连结PN，MQ，过点B作BH∥AD，交QM于点H.此时，四边形ABCD被分割成四块.把△PND绕点N逆时针旋转180°，把△BQH绕点Q顺时针旋转180°，再把△BMH绕点M逆时针旋转180°，即可拼接成如图8所示的平行四边形.
再继续思考，能否将任意一个凸四边形剪成五块，使这五块能拼接成矩形？这里出示一种方法：
如图9所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、Q、N、P，连结PN、QM； 再分别过点D、B作DE⊥PN，BF⊥QM，垂足分别为E、F.此时，四边形ABCD被分割成五块.把△DNE绕点N逆时针旋转180°，把△DEP绕点P顺时针旋转180°，把△BQF绕点QN顺时针旋转180°，把△BFM绕点M逆时针旋转180°，即可拼接成如图10所示的矩形.
事实上，在图9中，当E为PN上任意一点时，连结DE，再过点B作BF∥DE，交MQ于点F（如图11）.在拼法不变的情况下，可得到平行四边形（如图12）.
再继续思考，还有其它方法能将任意一个凸四边形剪成五块，使这五块能拼接成平行四边形吗？
如图13所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、Q、N、P，连结PM、PN、QN、QM.此时，四摘自：本科生毕业论文www.618jyw.com
边形ABCD被分割成五块.把△AMP绕点P逆时针旋转180°，把△CNQ绕点N顺时针旋转180°，再把△BQM沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图14所示的平行四边形.
简评： 剪拼图形是一类有趣的数学问题，在思考过程中存在着极强的目的性，对提高思维品质（思维的灵活性、深刻性、发散性、批判性、流畅性、敏捷性等）有很大好处，对深入认识、理解图形的各种性质有很大帮助.
随着被剪图形形状的变化，拼接后的图形形状也会作相应的变化.如当图5中凸四边形对角线互相垂直时，图6将变为菱形；当图13中凸四边形对角线互相垂直时，图14将变为矩形；而当图13中凸四边形对角线相等时，图14中的平行四边形邻边之比为1∶2.
针对以上各种方法，你还能提出其它更多的见解吗？坚持这种学习方法，你一定会在数学上取得长足进步.
几何问题是困扰学生的一大难题，尤其是需要添加辅助线的几何问题.科学、准确地引导学生添加每一条辅助线，能帮助学生揭开辅助线的神秘面纱，攻克几何难题.
（责任编辑：李建军）