论解法一道高考题解法、考后调查、教学反思

2012年高考一结束，笔者用浙江文科第9题去考查高一任教的学生（本校属于省重点普通高中），结果令人惊讶！全班58人只有5人做对，并且都是用同一种方法. 惊讶、遗憾之余，便有了本文对考题解法的探究，考后的局部调查以及对教学的反思. 笔者认为该考题是一道折射教师教学行为的好题.

一、考题解法探究

2012年浙江文科第9题：若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
答案C
解法一：（构造均值不等式思想）由x+3y=5xy，得+=1，而3x+4y=（3x+4y）·（+）=++≥2+=

5. 当且仅当=，即x=1，y=时，3x+4y的最小值是

解法二：（消元思想）由x+3y=5xy，得y=，代入3x+4y，得3x+4y=3x+=（5x-3）++≥5.
解法三：（线性规划思想）作出y=图象第一象限部分（如图1），目标函数z=3x+4y，当平行线组过点（1，0. 5）时，3x+4y的最小值是5，而点（1，0. 5）可由导数值为-时而得.
解法四：（方程组思想）由y=与z=3x+4y联立方程组消去y，再由？驻≥0也可得z的最小值5.
解法五：（参数思想）由+=1，设cos2α=，sin2α=，其中α∈[0，2π]则y=，x=·3x+4y=+=+=++≥5.
解法六：（反置代思想）将z=3x+4y改写成：y=，代入x+3y=5xy，并将其整理成x的二次形式，15x2-（5+5z）x+3z=0，由？驻≥0可得z的最小值是5.
解法七：（向量思想）如图2. 设向量=a=（3，4），向量=b=（x，y），则a·b=3x+4y，b的终点在y=第一象限的图象上，根据数量积的几何意义，当 b在a上的投影最小时， z=3x+4y的值最小，先求斜率为-的切线与曲线y=的切点（1，），再将切点x=1，y=代入z=3x+4y，得z最小值为5.
解法八：（柯西不等式法）由x+3y=5xy，得+=

1. 3x+4y=（3x+4y）·1=（3x+4y）·（+）≥（·+·）2=5.

二、考后调查

本题题源：《数学必修5》①3. 4基本不等式：≤

(二)作业本56页第11题：已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值.

对四类人群的局部调查. 调查一，新手型教师两人的解法：一人只有解法一；另一人解法一和解法八. 调查二，经验型教师一人的解法：解法一、解法二、解法三. 调查三，高一学生58人中有五人的解法：解法一，其余没有第二种解法. 调查对象为本人所教班级，生源为农村普通高中学生，时间为基本不等式的内容教学后不到两周. 调查四，参加高考的本校文科班毕业学生10人，高考成绩都在[100，120]区间，有两人用解法一做出，其中有一人因为第14题的提示（文科高考第14题是显著的线性规划问题，于是他认为第9题不是线性规划问题）才由原来解法三的思路转为解法一的思路. 有两人用解法二做出，还有两人用解法三做出，有一人随机选对，其余3人答错.

三、教学反思

1. 教学理念与自觉行为的差距

随着课程改革的不断深入，课程理念也逐步在教师意识中“生根发芽”. 我们知道“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程”. 然而，不容否认，基于功利心和教学任务压力的驱使，在实际的教学中，还是存在大量“杀鸡取卵”式的教学方式.
正如笔者对考题题源的教学：由于当时在作业本上首次出现该类题，题意显然是均值不等式的运用，笔者认为学生还没有能力解决，于是将题：x>0，y>0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值，作为例题.因为时间不允许作更多的探究，所以“生吞活剥”就“剥”出了解法一.而结果就出现上述调查三的情况；采取“生吞活剥”还是“细嚼慢咽”的例题教学，决定我们的教学理念是否具有执行力. 虽然本文考题是一道常见题，从以前学生的做题情况看，方法以解法一为多，这种方法实为解法中最为简洁，但隐藏的问题却很大， 首先此解法构造的难度较大，在高考这样紧张的情况下学生不易想到，属于技巧类解法.从“以人的发展为本”的理念看，笔者处理考题题源的方式是培养不出学生能力的，学生最多是增加些“依葫芦画瓢”的本领，“葫芦”一旦消失，“画瓢”的本领也不复存在了.基于学生的认知能力和认知水平，改进的教学方法可以是：先让学生作为作业探究，教师可以是困惑的帮助解决者，或思维短路的“接线员”.

2.自觉运用数学思想方法引导解题

《数学课程标准解读》中指出“数学教学应该不只是教知识技能，教技巧，还要教数学思考，教思想，把数学的学术形态转化为教育形态，体现数学的价值和数学的教育价值”. 在平时的教学中教师应自觉运用数学思想方法引导解题，学生才能感同身受，才会出现“潜移默化”的功效.
从本文“考后调查”之调查三可以看出，由于笔者没有将题源的教学作为数学思想方法的训练平台，造成解法一先入为主的首因效应；忽视最常规的如解法二、解法三、解法四的数学思想方法的引导，如解法四（方程组思想指导下），两个方程，三个未知数，要得到z的取值范围，只有靠？驻≥0了，可以说不需太多思考，整个解题过程已非常明确.此类考查，在浙江2010年理科卷第15题也有很好体现，题目：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5·S6+15=0，则d的取值范围是 . 当年该题得分率仅摘自：毕业论文摘要www.618jyw.com
有0.15.应该也是教师对思想方法重视不够的原因吧. 从调查四可以了解到，平时可能是教师认为最好的方法如解法一，其解题思路并非自然，在考场上，此类属于“雕虫小技”，很难有所作为，只有数学思想方法才是解决问题的“根本大法”，特别是传统四大数学思想：函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想、数形结合思想.正如歌曲所唱：“大海航行靠舵手，干革命工作靠的是思想.”那么，解数学题靠的是什么？靠的是数学思想.

3. 高三复习应该重视知识的整合、变式的训练

从局部的调查（调查一、调查二）显示，很多教师认为本文考题的通法是解法一，这从一方面说明当前教师缺乏自身条件性知识的整合，缺少对例题、习题的深入研究，此情况下很有可能不知不觉就“带领”学生参加“题海战术”. 另一方面，学生因为缺少教师的指导，也缺乏学习的方法，如元认知监控性质的反思策略，不能有效将“经典问题”所隐含的思想方法予以提炼并迁移应用. 从调查一、四，也折射出教师中可能存在就题论题的现象，当然，这不是一个高三老师所愿意做的，原因还是自身认知结构的问题. 笔者认为，高考试题给我们带来的研究价值是不容置疑的，教师可以从研究试题入手，重视知识整合，从一定的高度驾驭高考复习.当然，学生要获得“经验”，后跟进的变式训练是不可少的，比如，本文考题的通性通法是消元思想或方程组思想，在学习后可以跟进如是练习：例x，y∈R且2x2+y2=6x，则x2+y2+2x的最大值为 （答案15）. 总之，只要教师精心设计训练平台，将数学思想方法与学生原有知识融会贯通，让学生感受到数学思想方法的广泛运用，懂得思维的形成过程，让思想指导行动就成为可能.如此，就一定能帮助学生适应深化课程改革下的高考.