论思维以算术思维到代数思维

摘 要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。
关键词：算数；代数；思维
1002-7661（2013）07-103-01

一、多元化表征、建构符号意识

“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。

1、优化对符号的认识

数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。
建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。
拓宽对符号的理解：四年级（下）进行“用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。这样的认识在一定程度上阻碍了代数思维的发展。

2、提高符号表征意识

小学生形式化抽象思维的发展处于起步阶段，他们在解决问题时往往依赖于具体数值，习惯于应用赋值法或简单的假设，如果在解决问题过程中渗透符号表征的应用，可以进一步增强学生的符号意识，有效提高学生对代数操作运算的能力，促进代数思维的发展。

二、多视角渗透，发展结构意识

小学阶段与代数有关的目标是帮助学生从数和符号的角度更好的表示和理解数量关系，关注方程和解方程，帮助学生从指向结果的程序性的单一的数量关系认知中解放出来，去关注问题本身的事理结构。一方面我们要引导儿童用字母表示未知数后将其视作条件，并在观念上将未知数与已知数放置在同等地位，从整体出发，建立一般化与结构化的抽象的等量关系，再用方程刻画进行符号描述。另一方面通过算术法和代数法的并举来逐步发展学生的代数结构意识，促进小学生代数思维的发展。

1、加强数量关系的训练

数量关系是列方程解应用题的关键，也是从算术思路转变到代数思路所必经的途径。教学中应该在数量关系的训练上帮助学生找渗透点，把未知数与已知数置于同等地位来考虑数量间的相等关系，帮助学生更好的确定数量间的相等关系。

2、落实算法多样化

在高年级的教学中，穿插了方程解法的教学。比如分数应用题这一单元，当单位“1”未知时，教材例题呈现的都是用方程解决问题，其设计意图摘自：毕业论文提纲www.618jyw.com
很显然一是降低了思维的难度，二是与中学教学内容相衔接，培养学生的方程意识。只是在解决问题时，我们往往更关注算术方法的指导，学生根据给定的模式框架来解答，正确率也比较高，这样就造成了学生方程解决问题的意识比较差。要改善这一情况，我们可以从以下两方面入手来落实算术解法与方程解法并举，逐渐从算术思维向代数思维过渡。
从教学的观点来看，算术解法与代数解法是基础与继承的关系，前者有利于实现数学思想方法的渗透，后者有助于学生形成代数结构化思想。要从算术思维过渡到代数思维，绝非仅是进行大量的算术练习或精熟的符号操演，而是在这两项为基础的条件下帮助学生建立代数思维的一般化及结构化。在代数的教学中，算术思维的程序性与代数思维的结构性是同要的重要的，也唯有建立在这两种思维的相互协调上，代数思维才能发展起来。

三、提高学生构建方程的能力

学生通过对数量关系的探索，发现数学问题一般化的关系和结构，并用代数式表示，初步经历了简单数学模型的构建过程，促进了学生代数思维和抽象概括能力的发展，感悟了数学模型思想。方程解决就是给出一个数学模型的过程，这样的建模就是打开“代数”大门的钥匙。
代数思维与运算思维相比较而言，当然有很多的共性之处，比如两者都可以解决问题，能够促进人的思维，同时算式运算是实施代数运算的基础，但是代数思维与算式思维所不同之处在于，算式里等号仅仅表示操作，而代数里等号表示结构，两者之间的平衡。
因为，一般认为代数思维的养成在算术思维之后，且必须奠基于算术思维之上。