浅议在一让学生在一题多变中提升能力征文
更新时间：2024-03-13
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前苏联教育家奥家涅相说过：“必须重视，很多习题潜在扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性……”因此，教师在课堂教学中强化问题意识，不断变换题目的形式以激发学生的好奇心与求知欲，对活跃课堂气氛，提高课堂效率，对提升学生综合的分析问题与解决问题能力大有裨益。本文以2009年高考数学福建卷文科第22题（I）（Ⅱ）为题源，通过对它的求解、变式、设疑、拓展、迁移等教学环节进一步体现高考题这一宝贵的教学资源在教学中的潜在价值。
已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l： x=■分别交于M、N两点，
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值。
生1：由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0）上顶点为D（0，1），∴a源于：论文提纲范文www.618jyw.com
=2，b=1，故椭圆C的方程为■+y2=1。
生2：因为MN的长度取决于M，N点在直线l上的位置，M、N点的位置取决于动点S点的位置，S点的位置取决于直线AS的斜率，所以首先建立直线AS的方程，其中k>0，求出M的坐标和S点的坐标，再建立SB的方程，求出其与直线l的交点N的坐标，M、N点纵坐标差的绝对值就是线段MN的长度，是斜率k的函数，最后求MN的长度的最小值。
师：分析得既准确又具有条理性，很好。（多媒体给出本题（Ⅱ）的解答投影）
解：直线AS的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（■，■），由y=k（x+2）■+y2=1得 （1+4K2）X2+16K2X+16K2-4=0。设S（x1，y1），则（-2）x1=■，得x1=■，从而y1=■，即S（■，■）， 又B（2，0），∴直线SB为y=-■（x-2），从而N（■，-■），故MN=■+■，又k>0，∴MN=■+■≥2■=■当且仅当■=■，即k=■时等号成立，∴k=■时，线段MN的长度的最小值为■。
师：若在椭圆C：■+y2=1的长轴AB上取点Q（■，0），连结SQ交椭圆于T点，那么M，B，T三点会共线吗？
学生纷纷议论：“肯定共线，数据都是凑好的。”多媒体给出变式题。
变式题：点S是椭圆C：■+y2=1上位于x轴上方的动点，直线AS与直线l：x=■交于M点，Q（■，0）是椭圆长轴AB上的定点，直线SQ与椭圆交于T点，则T，B，M三点是否共线？若共线则给出证明，不共线说明理由。
生3，生4上黑板解答，其余学生在下面完成，教师巡视。10分钟后，生4及一半学生已完成了解答，生3及部分学生尚未能完成解答。
生4的解答如下：
设S（x1，y1），T（x2，y2），设直线ST方程为：my=x-■，与椭圆方程C：■+y2=1联立，消x得：（m2+4）y2+■my-■=0，y1+y2=■① y1y2=■②
直线AS：y=■（x+2）与直线l：x=■的交点为M■，■，
直线TB：y=■（x+2）与直线l：x=■的交点设为M′，则■，■。
要证明T，B，M三点共线，只需证明M与M′重合，■-■=■■-■=■■，又因为点S（x1，y1），T（x2，y2）在直线ST：x-my-■=0上，所以，x1=my1+■，x2=my2+■，所以4y1（x2-2）-y2（x1+2）=4y1my2-■-y2my1-■=3my1y2-■（y1+y2）③
将① ②代入③得4y1（x2-2）-y2（x1+2）=0，
即■-■，所以M与M′重合，所以T，B，M三点共线。
师：请生4再回答两个问题：
（1）为什么设直线ST方程为：my=x-■，而没设成y=k（x-■）？
（2）证明T，B，M三点共线，除了上述证明方法外还有其他证明方法吗？
生4：设成y=k（x-■）也可以，但必须对k不存在的情况验证，而方程my=x-■中已包含垂直于x轴的直线x=■，无需再验证了。
除了上述方法外还有下面三个方法可以证明T，B，M三点共线：
（1）三点中的任一点在另两点确定的直线上；
（2）KBM=KBN；
（3）■与■共线。
师：生3与部分学生为什么没有完成的主要原因是在解题思路的设计上存在问题，这部分学生的解题思路是：首先沿用了题源中设置的直线AS的方程，求出S点与M点的坐标，然后建立SQ的方程并求出与椭圆的另一交点的坐标，最后再证明T，B，M三点共线。 其思路虽然正确，但S点的繁琐坐标（■，■）使得直线SQ方程的进一步繁琐，最终导致无法顺利求解直线SQ与椭圆的交点T的坐标。 从这里我们得到一点启示，即是否能科学地设计解题程序，在很大程度上会影响解题的成败，所以在审题时一定要准确地把握题意，全面分析各量间的相互关系，构建最简思路，否则很可能出现可想而不可解的局面。
课堂上一片寂静，同学们沉静在思考中，过了会儿，生5突然脱口而出：■×■=22。
师：观察很仔细，能把这个结论推向一般吗？（片刻后）
生6：如果把点Q的横坐标换成t（00）仍然成立。（多媒体给出猜想题） 摘自：毕业论文格式模板www.618jyw.com
一、出示题源
■已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l： x=■分别交于M、N两点，
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值。
二、解答题源
师：请分析解题思路。生1：由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0）上顶点为D（0，1），∴a源于：论文提纲范文www.618jyw.com
=2，b=1，故椭圆C的方程为■+y2=1。
生2：因为MN的长度取决于M，N点在直线l上的位置，M、N点的位置取决于动点S点的位置，S点的位置取决于直线AS的斜率，所以首先建立直线AS的方程，其中k>0，求出M的坐标和S点的坐标，再建立SB的方程，求出其与直线l的交点N的坐标，M、N点纵坐标差的绝对值就是线段MN的长度，是斜率k的函数，最后求MN的长度的最小值。
师：分析得既准确又具有条理性，很好。（多媒体给出本题（Ⅱ）的解答投影）
解：直线AS的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（■，■），由y=k（x+2）■+y2=1得 （1+4K2）X2+16K2X+16K2-4=0。设S（x1，y1），则（-2）x1=■，得x1=■，从而y1=■，即S（■，■）， 又B（2，0），∴直线SB为y=-■（x-2），从而N（■，-■），故MN=■+■，又k>0，∴MN=■+■≥2■=■当且仅当■=■，即k=■时等号成立，∴k=■时，线段MN的长度的最小值为■。
三、变式训练
■师：若在椭圆C：■+y2=1的长轴AB上取点Q（■，0），连结SQ交椭圆于T点，那么M，B，T三点会共线吗？
学生纷纷议论：“肯定共线，数据都是凑好的。”多媒体给出变式题。
变式题：点S是椭圆C：■+y2=1上位于x轴上方的动点，直线AS与直线l：x=■交于M点，Q（■，0）是椭圆长轴AB上的定点，直线SQ与椭圆交于T点，则T，B，M三点是否共线？若共线则给出证明，不共线说明理由。
生3，生4上黑板解答，其余学生在下面完成，教师巡视。10分钟后，生4及一半学生已完成了解答，生3及部分学生尚未能完成解答。
生4的解答如下：
设S（x1，y1），T（x2，y2），设直线ST方程为：my=x-■，与椭圆方程C：■+y2=1联立，消x得：（m2+4）y2+■my-■=0，y1+y2=■① y1y2=■②
直线AS：y=■（x+2）与直线l：x=■的交点为M■，■，
直线TB：y=■（x+2）与直线l：x=■的交点设为M′，则■，■。
要证明T，B，M三点共线，只需证明M与M′重合，■-■=■■-■=■■，又因为点S（x1，y1），T（x2，y2）在直线ST：x-my-■=0上，所以，x1=my1+■，x2=my2+■，所以4y1（x2-2）-y2（x1+2）=4y1my2-■-y2my1-■=3my1y2-■（y1+y2）③
将① ②代入③得4y1（x2-2）-y2（x1+2）=0，
即■-■，所以M与M′重合，所以T，B，M三点共线。
师：请生4再回答两个问题：
（1）为什么设直线ST方程为：my=x-■，而没设成y=k（x-■）？
（2）证明T，B，M三点共线，除了上述证明方法外还有其他证明方法吗？
生4：设成y=k（x-■）也可以，但必须对k不存在的情况验证，而方程my=x-■中已包含垂直于x轴的直线x=■，无需再验证了。
除了上述方法外还有下面三个方法可以证明T，B，M三点共线：
（1）三点中的任一点在另两点确定的直线上；
（2）KBM=KBN；
（3）■与■共线。
师：生3与部分学生为什么没有完成的主要原因是在解题思路的设计上存在问题，这部分学生的解题思路是：首先沿用了题源中设置的直线AS的方程，求出S点与M点的坐标，然后建立SQ的方程并求出与椭圆的另一交点的坐标，最后再证明T，B，M三点共线。 其思路虽然正确，但S点的繁琐坐标（■，■）使得直线SQ方程的进一步繁琐，最终导致无法顺利求解直线SQ与椭圆的交点T的坐标。 从这里我们得到一点启示，即是否能科学地设计解题程序，在很大程度上会影响解题的成败，所以在审题时一定要准确地把握题意，全面分析各量间的相互关系，构建最简思路，否则很可能出现可想而不可解的局面。
四、设疑猜想
师：在解变式题之前，同学们有一番议论说数据是凑好的，不错，是凑好的，否则怎么会三点共线呢？（同学们笑），那就请同学们仔细观察观察是怎么凑的点。课堂上一片寂静，同学们沉静在思考中，过了会儿，生5突然脱口而出：■×■=22。
师：观察很仔细，能把这个结论推向一般吗？（片刻后）
生6：如果把点Q的横坐标换成t（00）仍然成立。（多媒体给出猜想题） 摘自：毕业论文格式模板www.618jyw.com
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