谈角形浅谈三角形“四心”与平面向量

摘要：向量作为研究平面图形的一种工具，它具有代数与几何的双重性，与其它知识相结合也成了近几年高考命题的热点。特别对三角形的“四心”有关的向量问题，由于它能凸现出较好的区分和选拔功能，因而备受命题者的青睐。不仅考查了向量的几何运算，又考查了三角形的基本性质，同时也考查了学生掌握运动、变换的数学思想方源于：高中英语论文www.618jyw.com
法及综合运用能力。解决这类问题首先要对三角形的“四”心定义的理解：重心（三条中线的交点）、内心（三个内角的角平分线的交点）、外心（三条线段中垂线的交点）、垂心（三条高线的交点），有些同学对这“四”心定义总是张冠李戴，概念不清楚；其次熟练掌握向量加减法、平面向量基本定理及向量共线等相关知识。
本人在日常教学中作了一些收集、整理，通过实例总结提炼了一些解题方法和规律，希望能对我们的复习教学有所帮助。
关键词：向量；内心；重心；垂心；外心
【中图分类号】G633.6
一、重心
例1、 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则点P的轨迹的一定通过 的（）
A 外心B 垂心C内心D重心
解析：
平行四边形对角线互相平分，所以直线AD是BC边上的中线所在的直线，得P必过 的重心。
例2、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过 的（）
A重心B垂心C内心D外心
解析： 中， ，则
，与上题分析一样，所以是P必过 的重心。
注：同理可以分析得到以下结论：
二、内心
例3、 是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过 的（）
A外心B垂心C内心D重心
解析：如图所示
为图中 ，而四边形AEKF为菱形， 平分 ， ，所以P在 的角平分线上，所以是P必过 的内心。
例

4、设a，b，c是 三边的边长，O是 的内心的充要条件是

解：先证必要性 分别是 方向上的单位向量 ，0是 的内心 平分 ，则
得 再证充分性逆过来证明可得。
三、垂心
例5、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过 的（）
A 重心B垂心C内心D外心
解析：
所以P点过 的垂心。
四、外心
例6、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过 的（）
A 外心B垂心C内心D重心
解析：取BC中点为D，则
又D是BC的中点，则DP是BC的垂直平分线，所以P点过 的外心。
例

7、已知O，N，P在 所在平面内，且

，则点O，N，P依次是 的（）
A重心外心垂心B重心外心内心
C外心重心垂心D外心重心内心
解析：根据 ，到三个顶点的距离相等，O是外接圆圆心，则O为外心。
，知N为重心。
同理可得
，知P为垂心。所以选C
通过以上例题，我们要让学生领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系如 过BC边的中点，从而一定过 的重心； 所在直线一定过 的内心； 所在直线一定过 的垂心等。可以发现判断某点轨迹是过 的重心、内心、垂心、外心上的问题，主要判断此点是否在中线、角平分线、高、垂直平分线上，把已知条件进行转换，此类问题就变为三点共线问题，问题就很好解决了。
参考文献
王宜学，何一兵.《师说》辽宁大学出版社?，2011.8
邓池君，涛琪.《45分钟测试与评估》内蒙古大学出版社，2011.3