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谈导数简析导数不足中构造辅助函数的常用办法毕业论文致谢

谈导数简析导数不足中构造辅助函数的常用办法毕业论文致谢内容导读:

  导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题,年年必考,在这道压轴的大题中,解答时常涉及构造函数,我简单谈一下常用的构造方法.

  一、作差法(直接构造法)

  这是最常用的一种方法,通常题目中以不等式形式给出,我们可以作差构造新的函数,通过研究新函数的性质从而得出结论.当然,适合用这个方法解的题目中,构造的函数要易于求导,易于判断导数的正负.

  例1.设x∈R,求证ex≥1+x

  构造函数f (x)=ex-1-x,对函数求导可得f ′ (x)≥ex-1,当x≥0时,f ′ (x)≥0,f (x)在[0,+∞)上是增函数,f (x)≥f (0)=0,当x<0时,f ′ (x)<0,f (x)在(-∞,0)上为减函数,f (x)>f (0)=0,因此,当x∈R,f (x)≥f (0)=0,即ex≥1+x

  例2.x>-1,求证1-■≤ln(x+1)≤x

  以证明右侧为例,设f (x)=x-ln(x+1),f ′ (x)=1-■(x>-1)

  令f ′ (x)=0,x=0,当x∈(-1,0)时,f ′ (x)<0,函数递减,当x∈(0,+∞)时,f ′ (x)>0,函数递增,所以x=0时,函数取最小值f (0)=0,∴f (x)≥0.

  二、先去分母再作差

  有的问题直接作差构造函数后,求导非常麻烦,不具有可操作性,可先去分母再作差.

  例3.x>1,求证■<■

  分析:设f (x)=■-lnx,f (x)=■-■-lnx,f ′ (x)=■x-■+■x-■-■,f ′ (x)=■≥0,f (x)≥f (1),f (1)=0,∴f (x)>0

  三、先分离参数再构造

  例4.(哈三中2012期末试题21)已知函数f (x)=xlnx,g (x)=

  -x2+ax-3

  (1)求f (x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;

  (2)对一切x∈(0,+∞),2f (x)≥g (x)恒成立,求实数a的取值范围;

  (3)证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>■-■成立.

  分析:(1)略 (2)2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,

  ∵x>0,原不等式等价于a≤2lnx+x+■.

  令g (x)=2lnx+x+■,则g′ (x)=■,

  所以g (x)的最小值为g (1)=4,即a≤4

  (3)利用前面提到的第二种方法,先去分母再构造,目的就是使得构造的函数易于求导,易于分析.

  原不等式等价于xlnx>■-■,令F (x)=xlnx,G (x)=■-■

  则可求F (x)的最小值为F (■)=-■;G (x)的最大值为G (1)=-■,所以原不等式成立.

  四、从条件特征入手构造函数证明

  例5.若函数y=f (x)在R上可导且满足不等式xf ′ (x)>-f (x)恒成立,且常数a,b满足a>b,求证:af (a)>bf (b)

  分析:由条件移项后xf ′ (x)+f (x),可以构造函数F (x)=xf (x),求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ (x)>f (x),则移项后xf ′ (x)-f (x),要想到是一个商的导数的分子,构造函数F (x)=■,求导去完成证明.

  五、由高等数学中的结论构造

  利用泰勒公式,可以把任意一个函数用幂函数近似表示.

  f (x)=f (x0)+f ′ (x0)(x-x0)+■(x-x0)2+…+■(x-x0)n+…

  当f (x)=lnx,取x=1,则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1

  例6.数列{an},a1=1,an+1=lnan+an+2,求证an≤2n-1

  分析:设f (x)=lnx-(x-1),f ′ (x)=■-1=■,当x∈(0,1),

  f ′ (x)>0

  当x∈(1,+∞),f ′ (x)<0,f (x)≤f (1)=0 ∴lnx≤x-1

  lnan≤an-1,an+1=lnan+an+2≤2an+1,∴an+1+1≤2(an+1)

  迭代,1+an≤2(1+an-1)≤…≤2n-1(1+a1)=2n

  ∴an≤2n-1

  例7.(2008年山东理21)已知函数f (x)=■+aln(x-1)其中n∈N*,a为常数.

  (1)当n=2时,求函数f (x)的极值;

  (2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f (x)≤x-1

  分析(2):当a=1时,f (x)=■+ln(x-1).

  当x≥2时,对任意的正整数n,恒有■≤1,

  故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.

  令h (x)=x-1-[1+ln(x-1)]=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞),

  则h ′ (x)=1-■=■,

  当x≥2时,h ′ (x)≥0,故

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,h (x)在[2,+∞)上单调递增,

  因此x≥2时,当h (x)≥h (2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.

  故当x≥2时,有■+ln(x-1)≤x-1.即f (x)≤x-1.

  另外,高等数学中


谈导数简析导数不足中构造辅助函数的常用办法毕业论文致谢内容回顾:取值范围;  (3)证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>■-■成立.  分析:(1)略 (2)2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,  ∵x>0,原不等式等价于a≤2lnx+x+■.  令g (x)=2lnx+x+■,则g′ (x)=■,  所以g (x)的最小值为g (1)=4,即a≤4  (3)利用前面提到的第二种方法,先去分母再构造,目的就是使得构造的函数易于求导,易于分析.  原不等