浅论变量混合型随机变量分布及其数字特点

【摘要】混合型随机变量的相关知识在一般的本科教材中少有介绍，本文给出混合型随机变量的一些例子，并在此基础上介绍混合型随机变量的分布及数字特征。
【关键词】混合型随机变量分布函数期望方差
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0引言
在本科《概率论与数理统计》课程的教材中，绝大多数都是只介绍离散型和连续型随机变量的分布及数字特征，很少有涉及混合型随机变量也称为奇异型随机变量的相关知识，甚至有些教材根本不提及混合型随机变量的存在。而在历年的研究生入学考试题目中曾多次出现混合型随机变量的题目，因而对于准备考研的同学来说有必要掌握混合型随机变量的相关知识。本文通过一些例子来介绍混合型随机变量，并在此基础上介绍混合型随机变量的分布以及如何计算混合型随机变量的期望与方差。

1.混合型随机变量

根据随机变量的取值情况可以将其分成三种类型，离散型随机变量的取值为有限个或可数无穷多个，连续型随机变量的取值为不可数无穷多即可以取得某一区间内的任何值，且连续型随机变量取得它的任一可能值的概率等于零。而混合型随机变量既取得一些离散的值（取这些值的概率大于零），也取得某一区间内的任何值。通俗来讲，混合型随机变量既含有离散部分，也含有连续部分。
例1随机变量X既取得数值0，又取得区间[2，3]中的任何值，且取到数值0的概率P（X=0）=114，在区间[2，3]中取值的概率为P（2≤X≤3）=314。
本例中的随机变量X是混合型随机变量。它有离散部分，因为它取值0的概率大于零。它又有连续部分，因为它的取值充满区间[2，3]。

2.混合型随机变量的分布

混合型随机变量既含有离散部分，也含有连续部分，因此既不能用离散型的分布列来描述其分布，也不能用连续型的概率密度来描述其分布。而只能采用描述随机变量分布的一般方式，即用分布函数来对它的分布进行描述。
例2假设随机变量X取值-1和0的概率分别为P（X=-1）=118，P（X=0）=114，且在区间[1，3]中取值的概率为P（1≤X≤3）=518。在事件1≤X≤3出现的条件下，X在[1，3]内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比，求X的分布函数。
解：随机变量X的取值为-1，0以及区间[1，3]，为混合型随机变量。
当x<-1时，F（x）=P（X≤x）=0；当-1≤x<0时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）=118；
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）+P（X=0）=118+114=318；
当1≤x<3时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）+P（X=0）+P（1≤X≤x）=318+P（1≤X≤x），而
P（1≤X≤3）=518，且P（1≤X≤x1≤X≤3）=x-112，因此
P（1≤X≤x）=P（1≤X≤3）P（1≤X≤x1≤X≤3）=518×x-112=5x-5116，所以
当1≤x<3时，F（x）=318+P（1≤X≤x）=318+5x-5116=5x+1116；
当x≥3时，F（x）=P（X≤x）=1。所以得X的分布函数为
F（x）=01x<-1
1181-1≤x<0
31810≤x<1
5x+111611≤x<3
11x≥3 。
分布函数描述了混合型随机变量的分布，我们可以通过分布函数求得混合型随机变量取得某个值或取值于某个区间的概率。

3.混合型随机变量的分布函数的分解

理论上，混合型随机变量的分布函数可以分解为一个离散型随机变量的分布函数与一个连续型随机变量的分布函数的线性组合，且满足组合的系数之和为一。即若混合型随机变量的分布函数为F（x），则F（x）=aF1（x）+bF2（x），其中F1（x）为一离散型随机变量的分布函数，F2（x）为一连续型随机变量的分布函数，且a+b=1。
例3例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中
F1（x）=01x<-1
1131-1≤x<0
11x≥0 ，
F2（x）=01x<1
x-11211≤x<3
11x≥3 ，
可以看出，F1（x）是一个离散型随机变量的分布函数，其分布列为
X11-110p（xi）11131213而F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数。

4.混合型随机变量的数字特征

对于一般的随机变量X，设其分布函数为F（x），若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x）满足绝对收敛，则X的数学期望存在，且EX=∫+∞-∞xdF（x）。
对于斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x），由实变函数与泛函分析的知识知道，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞xdF（x）=∑1ixipi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞xdF（x）=∫+∞-∞xp（x）dx。
例4计算例2中的混合型随机变量X的数学期望。
解： 通过例3可知，例2中混合型源于：硕士论文www.618jyw.com
随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中F1（x）是离散型随机变量X1的分布函数，F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数，由一般随机变量的数学期望的定义可得
EX=∫+∞-∞xdF（x）=318∫+∞-∞xdF1（x）
+518∫+∞-∞xdF2（x）
=318（-1×113+0×213）+518∫31xd（x-112）
=-118+518×112∫31xdx=918。
若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞g（x）dF（x）满足绝对收敛，则随机变量X的函数g（X）的数学期望存在，且E[g（X）]=∫+∞-∞g（x）dF（x）。同样地，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∑1ig（xi）pi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∫+∞-∞g（x）p（x）dx。从而可得随机变量X的方差为
DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）
例5计算例2中的混合型随机变量X的方差。
解：由X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），则
DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）
=∫+∞-∞（x-918）2dF（x）
=318[（-1-918）2×113+（0-918）2×213]
+518∫31（x-918）2d（x-112）
=4511512+518×112∫31（x-918）2dx=3011192
以上关于混合型随机变量的相关知识，可以推广到多维的情况。
参考文献
李少辅，阎国军，戴宁，李俊芬.概率论.北京：科学出版社，2011年5月第1版：68-69，141-151.
李贤平.概率论基础第三版.北京：高等教育出版社，2010年4月第3版：193-199.
[3]夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌.实变函数论与泛函分析上册·第二版修订本.北京：高等教育出版社，2010年1月第2版：165-169.