研究教学设计“排列组合”教学设计及深思学术

“排列组合”是高中代数的一个独立分支，其应用广泛，与其他知识联系较少，解题思想方法灵活，可以发展学生的逻辑思维能力和抽象能力.但正因为这部分内容的思维抽象，条件隐晦，使学生觉得难以下手，比较难学.以下是我在教学中的一些设计及思考.

一、加大两个计数原理、排列与组合的对比力度

分类计数原理和分步计数原理的知识的应用贯穿着排列组合及概率的学习，是学好这部分知识的关键.如果对分步计数原理和分类计数原理的理解不充分，就会影响解决排列组合问题的准确性.而且近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考查上.所以在进行这两个原理的教学中一定要讲清讲透.我的做法是，先通过教材（人教A版）给出的问题利用列举法得出答案，让学生对分类、分步有初步的了解，分析两个问题的区别，明白类和步的区别，使学生清楚“类”和“类”是相互独立的，任何一类办法中的一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法数就用分步计数原理；“步”和“步”是相互依存、缺一不可的，完成一件事需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.最后总结出：分类相加，分步相乘.然后再做一些深化巩固练习.为了激发学生的兴趣并与高考接轨，可以让学生练习一些高考题.
【例1】（2012年高考全国卷理，11）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）.
A.12种B.18种C.24种D.36种
师生互动：先排第一行第一列，可以在a，b，c中任意选一个，有三种方法；再排第一行第二列，可以在剩下的两个字母中任意选一个，有两种方法；最后排第二行第一列，有两种方法.排完这三个位置后其他位置的字母就确定了，完成这件事分3步，所以用乘法.可得3×2×2=12种.
【例2】（2012年高考北京理，6）从0，2中选一个数字.从

1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为（）.

A.24B.18C.12D.6
师生互动：组成的三位数可以分成两类：奇偶奇，和偶奇奇.第一种先填个位（3种选择），再十位（2种选择），最后百位（2种选择），共12种；如果是偶奇奇，同理，个位（3种选择），再十位（2种选择），最后百位（1种选择），共6种，因此共有12+6=18种情况.得到结果后再来与学生一起分析用乘法或加法的原因.这样设计使学生从具体到抽象到具体地去掌握两个原理，符合人的认识规律.
而区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关.若交换两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即有序排列，无序组合，并用例题来说明.在教学中加大分类与分步计数原理、排列与组合的对比力度，就能强化它们在学生头脑中的可辨别性，避免在解题中产生混淆.

二、把抽象转化为具体

教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应当是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.”对于排列组合的应用题，学生觉得比较难，主要还是因为排列组合的抽象性.如果能把抽象的数学学习变得具体形象起来，把问题与学生的生活紧密联系，就能使学生体验到生活中的数学是无处不在的，从而培养学生的观察能力和解决实际问题的能力.如对于这样的问题：4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，不同的报名方法种数是多少？刚开始解决这类问题时学生老弄不清是34还是44.我是这样处理的：在讲台上准备3个盒子，分别写上足球队、篮球队、乒乓球队，先让一名学生上来选队，选上哪个队就把纸团扔到哪个盒子里，问：1号同学有几种选择？生：3种.师：完成选球队这件事了吗？生：没有.师：2号同学上来选.通过这样的过程，学生知道每个同学都有3种选择，只有当4位同学都选完球队后才完成这件事，根据分步计数原理，得3×3×3×3，即34.这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛.同时，学生也能顺利地解决这个问题.又让学生做巩固练习：汽车上有乘客10人，沿途有5个车站，问乘客下车的方式有几种？有些学生能迅速地得到答案，有些学生觉得难以下手.我对一个学生说：假设你在车上，可以有几种下车方式？通过引导，最后大部分学生都可以得到正确的答案.由此可见，对于排列组合中的许多抽象问题，让学生变成题目当中的人，使学生身临其境，成为解决问题的决策者，充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，达到解决问题的目的.

三、注意解题方法、解题策略的归纳总结

认知结构是人们头脑中的知识结构，它具有整体性和概括性.认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移.经常有学生说：上课听得懂，但课后不会做.这些学生在解题过程中，不会利用或利用不好已学的相关知识，找不到解题途径或解题方法，以致源于：普通论文格式范文www.618jyw.com
解题速度不快、解答过程繁杂、解答结果出现重复或漏缺等.这时需要教师引导学生进行必要的反思，提升学生的解题能力.不能就题论题，问题解决后要引导学生进行必要的总结.如，有限制条件的排列问题的解题策略：特殊位置、特殊元素要优先考虑；相邻问题先捆后松，不相邻问题见空插入，分组问题等.通过例题的讲解再加以概括，使学生真正掌握解题的策略.如：7人站成一排，甲不站两端，有几种站法？引导学生明白7人排队，与顺序有关，这是一个有条件限制的排列问题，可以通过分步及排列知识来解答.不少学生先考虑甲，有5个位置可以站，其他6个人可以随便地站6个位置，得到A15A66；师：可以先考虑前后两个位置吗？由学生思考，回答：前后两个位置可以由甲以外的6个人中选两个来排，其他5个位置由包括甲等5人来排，共有A26A55；让学生比较两种解法，并发现其结果是一样的.前一种方法考虑人（元素），后一种方法考虑位置.教师归纳出特殊元素法和特殊位置法.在巡视和学生回答的过程中发现有的学生先考虑甲站在哪，又考虑前后两个位置可以站什么人，出现了思维混乱.强调：在解题过程中，应以某一元素（或位置）为轴心展开讨论，不能一会以这个元素来展开，过一会又以位置来展开，这样会造成思路不清，引起重复或遗漏.再如：
【例3】（2012年高考辽宁理，5）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐一起，则不同的坐法种数为（）.
A.3×3！B.3×（3！）3
C.（3！）4D.9！
这是一个很典型的相邻问题，告诉学生：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.解决方法是先把三个家庭捆起来成为3个元素进行排列，有3！种排法，再把每个家庭的人松开进行排列，共有（3！）3种，所以最后答案（3！）4.还有组合中的分组问题是学生比较容易弄错的问题，如：6本书平均分为3组有几种分法？刚得到这道题，不少学生就迅速回答：C26C24C22，这时，我让学生把a、b、c、d四个字母平均分成两组，把所有的情况一一列出，学生发现分组方法如果是C24C22，则每一种都重复出现了一次，需再除以2.对于6个字母平均分组，如果取C26C24C22，每一种出现了6次，相当于三个组进行了排列，所以应除以“3！”，引导学生归纳出：平均分组，则分法=取法/阶层.从而强化学生的记忆.还有枚举法、间接法等都是排列组合问题中常用的解题方法.
（责任编辑黄桂坚）