试述解法线性方程组解法初探及MATLAB实现

更新时间:2024-03-21 点赞:26735 浏览:120883 作者:用户投稿原创标记本站原创

【摘要】给出了线性方程组的分类,总结并探讨了线性方程组的四种常用解法,针对非齐次线性方程组的解的三种情形,通过例题给出MATLAB求解的方法.
【关键词】线性方程组; 解法; MATLAB
【】A
为线性方程组(1)的增广矩阵,记作A.
若在方程组(1)中,当mn,即方程的个数多于未知数的个数时,方程组称为超定方程组.

二、线性方程组的解法

在线性代数课本中[1,2],线性方程组的常见解法主要有:消元法、克莱姆(Cramer)法则、逆阵乘积法、初等行变换法等.下面将就以上各种方法予以总结说明.
(一)消元法
消元法主要是初等数学中用来求解低阶线性方程组常用的方法,方程组必须为适定方程组,且方程组中未知量的个数有两个或三个,当未知量的个数不断增大时,计算量大幅增加,解题效率降低以至于不能求解.消元的方法一般有两种即加减消元法和代入消元法.

(二)克莱姆(Cramer)法则

克莱姆(Cramer)法则仅适用于求解系数行列式不为零的适定方程组,对于系数行列式为零的适定方程组、欠定方程组、超定方程组则是不适用的,并且对于未知数多于4个的适定方程组,用克莱姆(Cramer)法则笔算求解的运算量也是非常大的,解题效率会非常低.

(三)逆阵乘积法

把线性方程组(1)记为AX=b的形式后,若m=n,且系数矩阵A可逆,则X=A-1b.
逆阵乘积法求解线性方程组的关键是要求出系数矩阵A的逆矩阵,求逆矩阵的方法主要有伴随矩阵法和初等变换法两种,初等变换法比伴随矩阵法在求逆矩阵时的运算量要小,效率高,特别是在求高阶矩阵的逆矩阵时初等变换法的效率更高.但遗憾的是逆阵乘积法也仅适用于求解系数矩阵可逆(即行列式不为零)的适定方程组,对于行列式为零的适定方程组和欠定方程组、超定方程组则是不适用的.

(四)初等行变换法

初等行变换法的具体做法是:对方程组AX=b的增广矩阵A做初等行变换变为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵,得到增广矩阵A的等价矩阵,从而得到与原方程组等价且容易求解的方程组. 然后根据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系讨论方程组的解的情况.当R(A)=R(A)=n时,方程组AX=b有唯一解;当R(A)=R(A)=r当根据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系讨论方程组的解的情况后,若方程组AX=b有唯一解,则对增广矩阵A做初等行变换所得的行最简形矩阵的最后一列即为方程组的解;若方程组有无穷多组解,则可以根据线性方程组解的结构求其通解.具体做法是:先求出齐次线性方程组的基础解系,写出齐次线性方程组的通解,再加上非齐次线性方程组的一个特解,即可得非齐次线性方程组的通解.而所有求解过程只需解与增广矩阵等价的方程组即可.
用初等行变换法可以求解任何类型的线性方程组,是求解线性方程组的普适方法,和其他方法比起来具有更大的优越性.

三、用Matlab软件求解线性方程组

Matlab是由美国MathWorks 公司开发的一种功能强大的科学及工程计算软件,它的名字由“矩阵实验室”的英文Matrix Laboratory的缩写组合而来.用Matlab软件可以进行线性代数的各种运算,包括诸如求行列式的值、求矩阵的秩、向量组的秩及极大线性无关组、解线性方程组、求方阵的特征值及特征向量、求二次型的标准型等问题;此外还可以通过绘图命令,对线性代数中若干概念的几何意义进行分析和讨论,使学生更好地理解线性代数的抽象概念.下面针对非齐次摘自:毕业论文提纲www.618jyw.com
线性方程组解的三种情形,通过例题给出Matlab求解的方法及求解过程.
在两种解法中求出的特解不同是因为该方程组有无穷多组特解,通解中只需要任取一个特解即可.
【参考文献】
王尚平,李艳丽.线性代数(第2版)[M].北京:机械工业出版社,2006.
秦新强,赵凤群.线性代数学习指导(第2版)[M].北京:机械工业出版社,2007.
[3]杨威,高淑萍. 线性代数机算与应用指导(Matlab版) [M].西安:西安电子科技大学出版社,2009.
相关文章
推荐阅读

 发表评论

共有3000条评论 快来参与吧~