试议浅谈浅谈数学思想在初中数学教学中运用

摘要：初中数学教学以明暗两条线贯穿整个教学过程：基础数学知识与数学思想。基础数学知识以文字和图片的方式被写入教材，最直接的呈现给教师和学生。数学思想则蕴藏在各个知识点，需要进行全面分析、挖掘。作为初中数学一线教育工作者，本人以工作经验为基础，结合学术界现有的研究成果，总结出应该渗透入数学教学的几种数学思想，为初中数学教育的发展尽微薄之力。
关键词：数学思想；数学教学；渗透
初中数学新课标中有关课程的总目标明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1）获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。第一点所指的是基础数学知识，第二点指的是数学思想，基础是躯干，思想是本质，二者缺一不可。
根据朱成杰老师对全国统编数学教材中数学思想方法出现频率的统计，发现出现较为频繁的主要有数学模型、演绎、抽象概括、化归、特殊化、归纳猜等几种数学思想。详见下图：
通过对上图中各种数学思想方法的的统计，结合教学实际，我们可以看出，在实际数学教学过程中经除了对演绎法、类比法等相对重视以外，其他数学模型、抽象概括等都较少涉及。数学教学的现代化非是内容的现代化，而是数学思想方法的现代化。通过现代化的数学思想方法，能够帮助教师和学生掌握数学思想，在将来的工作、学习中更加的受益。

一、几种常用的数学思想方法

1、分类思想

分类思想是指根据数学本质属性的异同，将研究对象分为不同种类的一种数学思想。通过对研究对象在不同情况下的结果进行比较，最终将其根据条件或情况进行分类，得出结果。
作为最重要的数学思想之一，分类思想贯穿了整个数学教学过程，无论是代数还是几何，通过分类，降低了学习的难度，有效地帮助学生对某一知识进行理解。因此，在教学过程中，教师需要引导学生对知识点进行全面的分析，帮助他们掌握分类的方法和原则，逐步培养他们的分类思想。
分类时需要做到以下几点：1）全面；2）标准；3）逐层逐级分析。
例1：a为实数（a≠3），对a的取值进行分析，给出不同取值时1/（|a-3|）的结果。
分析：本题主要考察点在于a的取值。不同取值范围，运算式的表达方式也不同，结果自然不同。
答案：（略）
通过上题可以看出，如果能够对知识进行合理的分类，能够使看起来复杂的知识变得条理。通过分类思想的训练，能够培养学生缜密、灵活的数学思维。

2、归纳思想

归纳思想被广泛的运用于定理、公式的推导，由于它的证明过程相对复杂，对于中学生而言存在一定的难度。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法：完全归纳法即通过所有的特殊情况推出一般性结论；不完全归纳法则是通过部分特殊情况推断出一般性结论。数学归纳法作为用来证明某些与正整数有关的数学命题，由于其证明过程相对复杂，需要考虑到所有的特殊情况，有可能衍生出很多的变式，因此对于中学生而言，是一个难点。下面通过举例说明数学归纳法的运用：
例2：已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an. 求证：数列{an}的第4m+1项（m∈N）能被3整除。
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法。由m=1时开始分析，再扩大到m=i、m=i+1时的情形，最终推导出：对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除。
答案：（略）

3、化归思想

化归思想是中考数学中的重点，也是解题中用到最多的、最活跃的思想之一。所谓化归，就是把一个事物转化为另一个与之相近的、具备相关性的事物，即变“正面强攻”为“侧翼进击”的思维形式，体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的、已解决的或易于解决的问题。[3]
数学化归需要遵守以下几个原则：1）低层次化：多元向低元化归，高维向低维化归，如降次、消元等；2）目标简化原则；3）标准形式化（将待解决问题向已建立好的数学模式转化）；
例3：若2amb2m+3n与a2n-3b3的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是：（）
A.1，2 B.2，1 C.1，1 D.1，3
解析：若两个单项式的和仍为单项式，则这两个单项式一定为同类项，利用同类项的定义则可列出如下方程：
，于是我们可以得出： ，选A。

4、数形结合思想

数形结合，就是通过把抽象的数字及其关系与相对直观明显的几何图形结合结合起来，从而达到简化复杂问题、抽象问题，加深学生对数量关系或几何结合的理解。华罗庚先生曾写过一首关于数和形的词：：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少知觉，开少数时难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事非。
切莫忘，几何代数统一代。
永远联系，切莫分离。
作为著名的数学家，对数形结合都如此的关注，对于我们一线数学教学工俐来说，就更应该引起重视，注重在平常的教学工作中培育学生的“数形结合”理念和思想。
例4：已知有实数m，n，满足3m+4n-1=0，试求出（m-1）2+（n-2）2的最小值。
分析：（m-1）2+（n-2）2即（m，n）点到（1，2）点的距离L的平方，而点（m，n）在3m+4y-1=0上移动，很显然，L的最小值即为点（1，2）到3m+4y-1=0的距离：
通过计算得出：Lmin=4，即：满足3m+4n-1=0的（m-1）2+（n-2）2的最小值为4.

5、模型思想

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，随着数学教学改革的不断深入重视、数学知识与外部世界的联系，发展学生数学的应用意识和创新意识已成为数学教育发展的趋势。[4] 作为新课标的核心思想之一，数学模型思想无论是对于培养学生的应用和创新意识，还是数学解题能力，都有着非常重要的意义。
数学建模思想通过以下几个步骤来实现：观察实际情境→提出问题→建模→得到结果→检验。
例5：教务处有10块硬纸板，每块1m2。因活动安排，需要把这剪裁成两种小纸片：每张纸板可以剪成50片大纸片，或者300片小纸片（每一张大纸片必须搭配四张小纸片）。如果你是活动的组织者，请设计怎么样组合，才能刚才配套？
解答：（略）
解析：数学应用于现实生活中，譬如数量配套、工程问题、增长率、折扣计算等，我们应该培养学生基于现实问题、相应建立方程（组）来解决问题。

二、数学思想在初中数学的渗透策略

从我们的教学实践来看，我们需要关注的不仅仅是“有什么样的数学思想”，而且需要关注“怎样培养学生的数学思想”，后者的重要性完全不亚于前者。
那么，“渗透”这样一个过程应该怎样去进行呢？关键是要加强渗透意识，即在 备 课时就要考虑要教授的某一知识中有哪些思想方法可以对学生进行渗透，在这种思路下，数学知识就会成为数学思想方法的一个载体，通过对数学知识的学习，让学生在收获知识的同时感受方法的运用和思想的熏陶。[5]

1、在探索引导的过程中培养数学思想。

《新课标》提出，学习是以学生为主、教师引导的探索、学习过程。无论是概念形成、结论推导、规律的推导还是问题的发现，都可以运用本文第一部分介绍的几种数学思想，让学生主动参与到知识的探索和发现过程中来，亲历创造性思维的应用，在掌握数学基础知识的同时，又能领悟数学思想。

2、在解决问题的过程中运用数学思想。

经常会碰到这样的问题：老师在讲解示例、问题的时候，学生能够一步步地跟着走，能够听懂。但一旦到了课后，换一种方式、替换几个字符甚至是原题，学生都觉得无所适从，无处着手。究其原因，无非有这么两种情况：一是教师注重题目的解答，忽视数学思想的渗透；二是学生对教师形成了依赖，无法独立思考。在这种情况下，教师需要在解决问题的过程中，引导学生学会思考，积极思考，了解问题关联的知识点，从而领导数学中的思想方法。

3、在归纳总结的过程中渗透数学思想。

整个数学教材体系是摘自：学术论文网www.618jyw.com
一套完整的系统，不同的数学知识点都存在一定的内在联系，而归纳总结的功能之一就在于揭示知识的内在联系。课后归纳总结，对于教师而言，是对本堂课程的回顾，同时也应该站在更高的一个层次，对本次授课有关的知识点与其他已经教授的知识进行关联，引导学生有更全面、更系统的认识，这是对教学过程的回顾和教学内容的深化。对于学生而言，一个全面的归纳总结，能够再次激发学生的思考，及时帮助学生巩固授课内容，起到启迪智慧的效果。
初中数学作为“数学体系”的基础，需要我们在整个教学过程中“授之以渔”，帮助学生掌握并形成数学思想，这是一个过程，贯穿于整个初中数学教学。一旦学成形成完整的数学思想，拥有良好数学素质、数学结构认识，对学生的学习和将来的发展，以及数学教师自身素质及教学活动都将有极大的帮助。
参考文献：
.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
朱成杰.数学思想方法的频数分布及思考[J].数学周报，1996.1.
[3] 王乐乐.浅谈初中数学化归思想[J].考试（中考版），2011.08.
[4] 陈闽旭.论新课标下初中数学模型思想的培养[J].考试周刊，2012（48）.
[5] 季亚兵.浅谈初中数学教学思想方法的渗透[J].数学教学通讯（初等教育），2013.01.