方程组,定理,待定系数法在解非齐次线性微分方程组上运用

长期以来，在探讨这样理由，即当f(t)具有特殊类型时，怎样用待定系数法求出非齐次线性微分方程组x'=Ax+f(t)的特解，成功。将给出关于策略教学论文比较圆满的回答，它为特殊类型非齐线性微分方程组求解拓宽了渠道，又给解决实际理由了方便。
非齐线性微分方程组
x'=Ax+f(t)(1)
初始条件φ（t0）=η的解，由公式
φ（t）=exp［(t-t0)A］η+∫tt0exp［(t-s)A］·f(s)ds(2)
给出，这里
知道方程组（1）的特解φ（t），则方程组（1）初始条件的解就写成
φ（t）=exp［（t-t0）A］η+φ（t）.(3)
下面当f(t)具有某些特殊型式时怎样求出特解。
引理［1］若方程（1）中矩阵A的互异特点根为λ1，λ2，…，λl,重数为n1,n2,…,nl,(n1+n2+…+n1=n),则有非奇异矩阵T（T为n×n阶矩阵），使得
exp［（t-s）A］=T［exp(t-s)J］T-1，J具有约当标准型，即有
矩阵空白处元素均为零。
定理1：方程组（1）当f(t)=(bmtm+…+b1t+b0)eat时有型如
φ（t）=∑m+k-1i=0citieat(4)
的特解。bj,ci,(j=0,1,2,…,m;i=0,1,…,m+k-1)为维列向量，
k=max(n1,n2,…,nl)
证明：显然φ（t）=∫tt0exp［（t-s）A］·f(s)ds是方程组（1）的特解。由引理及f(t)的形式有exp［（t-s）A］·f(s)=T［exp（t-s）J］T-1·f(s),即
dnik为ni维列向量(i=1,2…,l)所以
定理2：方程组（1）当f(t)=［A(t)cosβt+B(t)sinβt］eat时有型如
φ（t）=eat［P(t)cosβt+Q(t)sinβt］. (5)
的特解［P(t),Q(t)是次数为k+m-1的实系数多项式，αβ为常数，A（t）,B(t)是多项式，次数m次，另不超过m次］.
证明：由定理1的证明知道，当α实数，复数时有关仍然正确。现将f(t)表示为指数形式
f(t)=A(t)-iB(t)2e(a+iβ)t+A(t)+iB(t)2e(a-iβ)t,
则非齐线性方程的叠加原理，定理1的结果有
φ（t）=∑k+m-1I=0CItIe(a+iβ)t
eat［∑k+m-1I=0（cI+bI）tIcosβt+i∑k+m-1I=0(cI-bI)sinβt］.
令∑k+m-1I=0（cI+bI）tI=P(t)i∑k+m-1I=0(cI-bI)tI=Q(t)，则φ（t）=eat［P（t）cosβt+Q(t)sinβt］
A（t）-iB(t)与A(t)+iB(t)共轭，定理1的证明可知∑k+m-1I=0cIti与∑k+m-1I=0bItI共轭，所以P(t),Q（t）为实系数多项式，定理2成立。
例1：求方程组x'=0 1 -11 1 01 1x+１-tt-t2-1+2t-t2的特解
解:∵ |λI-A|=λ(λ-1)2,m=2 ∴k=2,k+m-1=3
设φ（t）=α1α2α3+β1β2β3t+γ1γ2γ3t2+ω1ω2ω3t3 代入方程组得
整理方程组得α1α2α3=000=β1β2β3=10-1，
γ1γ2γ3=011=ω1ω2ω3=000
故方程组的特解为φ（t）=tt2t2-t
例2：求方程组 x'=35-5 3x+e-t0的特解
解：∵|λI-A|=(λ-3-5i)(λ-3+5i)∴k=1,m=0,k+m-1=0
∴设φ（t）=αβe-t代入方程组得-α-β=3α+5β+1-5α+3β解得β=-541，α=-441
故方程组的解是φ（t）=-441 541e-t
文献
［1］ 叶彦谦.常微分方程讲义,人民教育出版社.
［2］ 中山大学数力系.常微分方程，人民教育出版社.