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方程组,定理,待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的运用

方程组,定理,待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的运用内容导读:inβt]. (5)  的特解[P(t),Q(t)是次数为k+m-1的实系数多项式,αβ为常数,A(t),B(t)是多项式,次数m次,另不超过m次].  证明:由定理1的证明知道,当α实数,复数时有关仍然正确。现将f(t)表示为指数形式  f(t)=A(t)-iB(t)2e(a+iβ)t+A(t)+iB(t)2e(a-iβ)t,  则非齐线性方程的叠加原理,定理1的结果有  φ(t

长期以来,在探讨这样理由,即当f(t)具有特殊类型时,怎样用待定系数法求出非齐次线性微分方程组x'=Ax+f(t)的特解,成功。将给出关于策略教学论文比较圆满的回答,它为特殊类型非齐线性微分方程组求解拓宽了渠道,又给解决实际理由了方便。
  非齐线性微分方程组
  x'=Ax+f(t)(1)
  初始条件φ(t0)=η的解,由公式
  φ(t)=exp[(t-t0)A]η+∫tt0exp[(t-s)A]·f(s)ds(2)
  给出,这里
  知道方程组(1)的特解φ(t),则方程组(1)初始条件的解就写成
  φ(t)=exp[(t-t0)A]η+φ(t).(3)
  下面当f(t)具有某些特殊型式时怎样求出特解。
  引理[1]若方程(1)中矩阵A的互异特点根为λ1,λ2,…,λl,重数为n1,n2,…,nl,(n1+n2+…+n1=n),则有非奇异矩阵T(T为n×n阶矩阵),使得
  exp[(t-s)A]=T[exp(t-s)J]T-1,J具有约当标准型,即有
  矩阵空白处元素均为零。
  定理1:方程组(1)当f(t)=(bmtm+…+b1t+b0)eat时有型如
  φ(t)=∑m+k-1i=0citieat(4)
  的特解。bj,ci,(j=0,1,2,…,m;i=0,1,…,m+k-1)为维列向量,
  k=max(n1,n2,…,nl)
  证明:显然φ(t)=∫tt0exp[(t-s)A]·f(s)ds是方程组(1)的特解。由引理及f(t)的形式有exp[(t-s)A]·f(s)=T[exp(t-s)J]T-1·f(s),即
  dnik为ni维列向量(i=1,2…,l)所以
  定理2:方程组(1)当f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eat时有型如
  φ(t)=eat[P(t)cosβt+Q(t)sinβt]. (5)
  的特解[P(t),Q(t)是次数为k+m-1的实系数多项式,αβ为常数,A(t),B(t)是多项式,次数m次,另不超过m次].
  证明:由定理1的证明知道,当α实数,复数时有关仍然正确。现将f(t)表示为指数形式
  f(t)=A(t)-iB(t)2e(a+iβ)t+A(t)+iB(t)2e(a-iβ)t,
  则非齐线性方程的叠加原理,定理1的结果有
  φ(t)=∑k+m-1I=0CItIe(a+iβ)t
  eat[∑k+m-1I=0(cI+bI)tIcosβt+i∑k+m-1I=0(cI-bI)sinβt].
  令∑k+m-1I=0(cI+bI)tI=P(t) i∑k+m-1I=0(cI-bI)tI=Q(t),则φ(t)=eat[P(t)cosβt+Q(t)sinβt]
  A(t)-iB(t)与A(t)+iB(t)共轭,定理1的证明可知∑k+m-1I=0cIti与∑k+m-1I=0bItI共轭,所以P(t),Q(t)为实系数多项式,定理2成立。
  例1:求方程组x'=0 1 -11 1 0 1 1x+1-tt-t2-1+2t-t2的特解
  解:∵ |λI-A|=λ(λ-1)2,m=2 ∴k=2,k+m-1=3
  设φ(t)=α1α2α3+β1β2β3t+γ1γ2γ3t2+ω1ω2ω3t3 代入方程组得
  整理方程组得α1α2α3=000=β1β2β3=10-1,
  γ1γ2γ3=011=ω1ω2ω3=000
  故方程组的特解为φ(t)=tt2t2-t
  例2:求方程组 x'=3 5-5 3x+e-t0的特解
  解:∵|λI-A|=(λ-3-5i)(λ-3+5i) ∴k=1,m=0,k+m-1=0
  ∴设φ(t)=αβe-t代入方程组得-α-β=3α+5β+1-5α+3β解得β=-541,α=-441
  故方程组的解是φ(t)=-441 541e-t
  文献
  [1] 叶彦谦.常微分方程讲义,人民教育出版社.
  [2] 中山大学数力系.常微分方程,人民教育出版社.



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