试述浅谈浅谈抽屉原理在几何证题中运用

【摘要】 探究用抽屉原理证明几何问题的途径与方法.
【关键词】抽屉原理；至少存在
“至少存在”几何问题的证明，历来是棘手的数学问题，但是，应用抽屉原理可以达到证明的目的.
什么是抽屉原理？
一般地，将m+1个物体放入m个抽屉，那么至少有一个抽屉的物体个数不少于2个.
我们可以用反证法来证明这个命题.
假设每个抽屉的物体个数少于2个，那么，m个抽屉所放物体个数少于或等于m个，这与所给物体个数m+1个发生矛盾，所以，假设是错误的，命题是正确的.
按照抽屉原理，将4根火柴放入3个抽屉，那么至少有一个抽屉的火柴根数不少于2根；将9根火柴放入4个抽屉，源于：论文开题报告范文www.618jyw.com
那么至少有一个抽屉的火柴根数不少于3根.
下面用抽屉原理来证明几个平面几何的数学问题.
图1 图 2例1 在边长为1的正三角形中（包括边界），任意放入9个点，求证：这9个点中，至少有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不大于316.
证析 如何切入问题呢？边长为1的正三角形面积为34，是面积316的4倍.
于是想到将三角形分割，分割有两种方法.
方法一：将正三角形一边四等分（如图1），分点与对顶点连线构成四个底为1[]4，高为32
的三角形（等底同高），将这四个三角形看作四个抽屉，共同的边可约定为某一个三角形的边，将9个点放入四个抽屉中，由于9÷4=2……1，从最不利的情况入手，每个三角形内（包括边界）有两个点，其中至少有一个三角形的点数不少于3个，如果这三个点在某一个三角形的三个顶点处，其面积为316，如果这三个点有一个不在顶点处，其构成的三角形面积小于316，所以，至少有三个点，以它们为顶点的三角形的面积不大于316.
方法二：取三边中点，依次连接中点，得到三条中位线，它们将三角形分为四个边长为1[]2的小正三角形（如图2），将这四个三角形看作四个抽屉，共同的边可以约定为某个三角形的边，由于9÷4=2……1，从最不利的情况入手，至少有一个三角形的点数不少于3个，如果这三个点在某一个三角形的三个顶点处，其面积为316，如果这三个点有一个不在顶点处，其构成的三角形面积小于31

6.命题得证.

图 3例2 在半径为R的圆内（包括边界），任意放入8个点，求证：这8个点中至少有两个点，它们之间的距离小于半径R.
证明 如图3所示，将圆O六等分，分点依次为A，B，C，D，E，F，OA，OB，OC，OD，OE，OF将圆分为6个全等扇形，这6个扇形可以看作6个抽屉，O为6个扇形共有的圆心，可设定为处于任何一个抽屉.假设O是8个点中的一个点，从最不利的情
况考虑，其他7个点有6个位于A，B，C，D，E，F的位置处，由于7÷6=1……1，在某一个扇形内（包括边界），至少还有一个点，这个点与扇形中已知的三个点中的任一点之间的距离，都小于半径R.于是命题得证.
我们做个小结：（1）例1、例2都是“至少存在”问题的证明，证明方法是抽屉原理，所以，抽屉原理是证明“至少存在”问题的一种方法.
（2）构造抽屉是证题的关键，也是难点，需从问题中解读信息，寻找题眼，做到可行的构造，其思路可总结为：
捕捉信息分割图形构造抽屉证明问题.
下面从一个构造的例子入手，说明构造的不可行性.
例3 在边长为1的正方形中（包括边界），任意放入9个点，求证：这9个点中，至少存在3个点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1[]8.
分析 如图4，将正方形按对角线分割成四个全等的直角三角形，每个小三角形的面积是1[]4，与1[]8的信息不吻合，如果将这9个点放入四个三角形中（包括边界），至少有一个三角形的点数不少于3个（包括边界），以它们为顶点的三角形的面积不大于1[]4，无法实现面积不大于1[]8的目的，所以这种分割不可行.
如图

5、图6是可行分割.（证明略）

图 4 图 5 图 6
因此，用抽屉原理证题，合理构造抽屉是至关重要的.
【参考文献】
金成梁.小学数学竞赛指导.人民教育出版社，2011.
熊斌.解题指导.华东师范大学出版社，2000.11.
[3]张同君，陈传理.竞赛数学解题研究.高等教育出版社，2010.