阐述圆锥曲线2013年高考圆锥曲线与设而不求

【摘要】设而不求法已是一类解决圆锥曲线问题中较为成熟和普遍的方法，但今天我们仍将结合几个例子来进一步探讨这一话题.结合笔者对2013年各省市高考数学卷的统计研究，笔者发现设而不求法在圆锥曲线类题目中仍具有其用武之地.现就三个方面的问题谈谈设而不求法在2013年高考圆锥曲线内的应用.
【关键词】2013年高考；圆锥曲线；设而不求

1.向量等式问题

在圆锥曲线大题中，常常将曲线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识结合起来，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.其中不乏整体思想与方程思想的巧妙利用.解决此类题目要紧紧抓住过焦点、截得弦长、直线斜率等关键词，结合韦达定理、中点坐标公式、向量内积公式等，相互联系，整体代入，设而不求.2013年，天津卷及湖南卷等都涉及向量与圆锥曲线相结合的问题.
例1 （2013高考天津卷，理科）设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若AC·DB+AD·CB=8，求k的值.
解析 （Ⅰ）根据已知离心率及截线段长，将过F点与x轴垂直的直线与椭圆方程联立，可求得椭圆的方程为x23+y22=1（式①）.（Ⅱ）设点C（x1，y1），D（x2，y2），由F（-1，0）得直线CD的方程为y=k（x+1）（式②），式①与式②联立消去y，整理得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0.由韦达定理可得：x1+x2=-6k2/（2+3k2），x1x2=（3k由已知得6+（2k2+12）/（2+3k2）=8，解得k=±2.

2.直线方程问题

求直线方程问题常见的有两类：一是过“定”点直线的方程，定点常为焦点、顶点或已知点；二是“定”斜率.涉及这两类问题时，要结合中点坐标公式、斜率公式和“点差法”整体代入.2013年，新课标理科卷、陕西卷、四川卷等都涉及该类问题.
例2 （2013高考陕西卷，文科）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍.
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率.
解析 （Ⅰ）设M到直线l的距离为d，据题意，d=2|MN|.因此|4-x|=2（x-1）2+y2，即x24+y23=1.（Ⅱ）设m：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）.联立直线m的方程与椭圆方程有（3+4k2）x2+24kx+24=0.其中，Δ>0，即k2>32.由韦达定理得：x1+x2=-24k3+4k2，x1x2=243+4k2，因A是PB的中点，故x2=2x1.因此，x1=-8k3+4k2，x21=12k3+4k2，解之得k=±32.所以直线m的斜率为-32或32.

3.轨迹方程问题

轨迹方程问题重要的是找准动点与已知圆锥曲线的关系，动点的轨迹常有中点的轨迹、等比点的轨迹、固定面积图形中某动点的轨迹.而关系则有夹角关系、距离关系、垂直关系、面积关系等.解此类题目常将这层“关系”作为解题的突破口.2013年，辽宁卷、湖南卷等涉及了此类问题.
例3 （2013高考辽宁卷，理科）已知抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0）.点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O）.当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12.（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）.
解析 （Ⅰ）对C1的方程求导，结合MA的斜率可求得MA的方程为y=-12（x+1）+14.因点M在直线MA和抛物线C2上，故易解得p=2.（Ⅱ）设N（x，y），Ax1，x214，Bx2，x224，x1≠x2.由N为线段AB中点知x=x1+x22（式③），y=x21+x228（式④），切线MA，MB的方程为y=x12（x-x1）+x214，y=x22（x-x2）+x源于：论文结论www.618jyw.com
224.将MA，MB的方程联立得交点M（x0，y0）的坐标为x0=x1+x22，y0=x1x24.因为点M（x0，y0）在C2上，即x20=-4y0，所以x1x2=-x21+x226（式⑤）.由式③④⑤得x2=43y，x≠0.当x1=x2时，A，B重合于O，AB中点N为O，坐标满足x2=43y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y.
4.小 结
设而不求法在圆锥曲线类题目中具有举足轻重的作用，在以后的教学过程中仍需把握好这方面的内容.掌握好设而不求法的运用方法，理清圆锥曲线的内在规律，让圆锥曲线变得有法可依、有理可循.