研讨参数关于直线参数方程中参数几何作用一点浅见

摘要：直线参数方程是选修4-4中坐标系与参数方程的重要内容之一。本文重点比较了直线的一般参数方程与标准参数方程中t的几何意义，仅供学习时参考。
关键词：直线；参数方程；几何意义
【中图分类号】G633.6
人教A版选修4-4 教师教学用书第28页描述直线的参数方程也可以写为
（t为参数）这一形式与的区别在于参数t没有明确的几何意义，我认为这一说法值得商榷。
事实上，由直线上一点和直线的一个方向向量可以确定一条直线的位置，所以只要确定直线上一点的坐标和它的方向向量的坐标就可以确定直线的一个参数方程
设为直线上一点，其坐标为，为直线的方向向量，则直线的参数方程为：，其中为基本起点，为基本向量
证明如下：设点M为直线任意一点，其坐标为（x，y），则
因为//，所以=t，
即=t
所以，即
此时，参数t的几何意义：
（1）t>0时，与同向；t=0时，点M与重合；t>0时，与反向
（2）||=|t|||
即t表示相对于方向向量的数量。
特别地，直线的倾斜角为，则直线的方向向量为单位向量=，直线的参数方程为：
若t>0，则与单位向量同向，点M在上方；若t=0，则点M与重合；若t>0，则与单位向量反向，点M在下方。
由于=t，所以||=|t|||=|t|源于：论文写作www.618jyw.com
，所以|t|表示点M到点的距离
例1：指出下列参数方程表示什么曲线
（1）（t为参数）；（2）（t为参数）
解：（1）表示过点（3，-1）且方向向量为（-2，-4）的直线
（2）表示过点（3，）且方向向量为（-，-）的直线
教材第36页中的例1（已知直线：与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长和点M（-1，2）到A，B两点的距离之积。）可以有如下解法：
解：由于题目涉及点M到A，B的距离，故选取M为基本起点
向量=为基本向量。所以直线的参数方程为
（t为参数）①
将①代入抛物线方程，整理得②
方程②中两根分别点A，B对应的t，设两根分别为，，则
+= -1，= -1，|MA|=||=||，|MB|=||=||
又因为+<0，<0，所以点M在线段AB上
所以|AB|=||MA|+|MB||=|-|==
==
所以，|MA||MB|=2||||=2||=2
评：（1）由于题目涉及点M到A，B的距离，故选取M为基本起点
（2）方向向量的选取可任意。
教材37页的例4（经过点M（2，1）作直线，交椭圆于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程。）也有如下解法：
解：设点A的坐标（m，n），选取M为基本起点，向量=为基本向量。所以直线的参数方程为
（t为参数）①
将①代入椭圆方程，整理得
②
方程②中的两根分别是点A，B对应的t，设两根分别为，
因为点M为AB的中点，所以+=0，即=0
所以=
所以直线的方程是
，即。
上面观点仅仅是我的一点浅见，如有不足，请广大读者批评指正。
作者简介：张延明（1968-），男，山西平定人，学科组长，新教师实践导师