研究数学例说数学多解理由中专生

更新时间:2024-03-14 点赞:10935 浏览:44896 作者:用户投稿原创标记本站原创

摘要:通过多个多解型数学试题,说明此类题目的解题方法,并得出此类题目的考察目的,培养和考察学生的分类讨论这一重要的数学方法。
关键词:分类讨论;多解
1002-7661(2012)22-327-02
满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广,综合性较强,题意构思精巧,而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论。分类讨论思想是指当数学问题中研究的对象不确定,不宜用统一方法处理时,常常根据研究对象性质的差异,按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重,广而不漏的若干类,然后逐类分别进行讨论,再把结论汇总,得出问题的答案的思想。
各地中考数学中这种题型不但在综合题中会有所涉及,而且在选择填空题中也经常出现,进一步说明非常重视分类讨论这一数学思想方法的考查。这类题的思维空间较大,解题时常出现考虑不全或不严谨,导致漏解、错解,要求同学们在解题中应加强对多向思维的培养,学好分类讨论这一思想方法,熟练掌握这一题型的特征与解法。
分类讨论是一种重要的数学思想,又是一种重要的解题策略。
例题1:如图,是象棋盘的一部分,一匹“马”在图示的位置,如果“马”现在的位置可表示为(7,3),按照象棋的规则,“马”下一步跃到的位置可表示为;
分析思考:此题很简单,只要按照象棋规则,把所有的可能都例举出来,但却暗含了数学多解题的本质,要把满足条件的所有的可能一一列举,使问题的解答完整。
答案:(6,1),(5,2),(5,4)(6,5)(8,5),(9,4)
(9,2)(8,1)
例题2:(2012江西样卷改编) 已知a、b为实数,且ab≠0,那么=。
分析思考:由于ab≠0即a、b都不为0,要继续化简,就需知a、b的正负,但a、b中是正是负是一个不确定的对象,所以可以分以下:①都是正;②都是负;③a为负,b为正;④a为正,b为负这四种情况来分别求值。
答案:0、2或-2
例题3:(2012江西样卷)小明等五名同学四月份参加源于:毕业设计论文致谢www.618jyw.com
某次数学测验(满分为120)的成绩如下:100、100、x、x、80。已知这组数据的中位数和平均数相等,那么整数x的值为。
分析思考:这里有什么不确定的对象呢?(x的大小),因此我们讨论的对象便是x的大小。
(1)讨论对象:x的大小;讨论范围:0~120;
(2)确定分类标准并进行合理分类:考虑x相对100和80大小可能性来分类,题中x的大小有三种可能:①100(3)当①100答案:110或60(有一个非整数值已舍去)
解题感悟之

(一)分类讨论的一般步骤:

(1)确定讨论的对象和讨论的范围;
(2)确定分类的标准并进行合理分类;
(3)逐级讨论并总结概括得出结论。
例4:(2011贵州安顺)已知,如图1:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为
分析思考:题中不确定的对象是什么呢?显然题目给出了条件“△ODP是等腰三角形”,但未指明在△ODP中哪两条边相等,因此我们的讨论对象是:△ODP中哪两条边相等,从而可分为三类:
当OP=OD时,则点P、D到点O的距离相等,因此只要以O为圆心,OD的长为半径画弧,交CB于一点P,过点P作PE⊥OD于E,由勾股定理可求得OE=3,则P(3,4);
当DO=DP时,则点O、P到点D的距离相等,因此只要以D为圆心, DO的长为半径画弧,交CB于两点P,过点P作PE⊥OD于E,当∠ODP为锐角时,由勾股定理可求得DE=3,OE=5-3=2,则P(2,4);当∠ODP为钝角时,由勾股定理可求得DE=3,OE=5 + 3=8,则P(8,4);
当PO=PD时,则点P在OD的垂直平分线上,因此只要作OD的垂直平分线PE交CB于一点P,垂足为E,由勾股定理可求得OP=,显然结果不等于5,不合题意,舍去;
其他解法:方法1:OD、DP、OP轮流为底边,同时要
注意以OD为底边时OP、PD是腰,但不会等于5,易产生错解,以OP为底边时又易漏掉一种情况。
方法2:∠POD、∠ODP、∠OPD轮流为顶角,这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制,故直角是不可能,∠POD为钝角不可能,∠PDO既可以是锐角,又可以为钝角。
答案:(3,4),(2,4),(8,4)
解题感悟之(二):
这道题告诉我们,在抓住了分类讨论的特征后,还要学会掌握分类的标准(或说方法)。而有了分类的标准,就要自始至终使用这一标准分类,同时在求满足条件的点的坐标时,画出相应的图形,使用图形分析求解也是十分必要的,还要特别注意,分类后还应注意题中约束条件,谨防出现不合要求的解或漏解现象。
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