阐释外接有效解决外接球不足

摘 要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了有效解法。
关键词：巧解；外接球；问题
《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系……”由此可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力源于：论文参考文献标准格式www.618jyw.com
有关，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。
一、直接法

1.求正方体的外接球的有关问题

例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______。
分析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可。因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。故表面积为27π。

2.求长方体的外接球的有关问题

例2 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为

1、2、3，则此球的表面积为______。

分析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为■，故球的表面积为14π。
小结：正方体，长方体的外接球的直径等于该几何体的体对角线的长。
二、构造法

1.构造正方体

例3 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为■，则其外接球的表面积是______。
分析：此题可采用补形法，因为三条侧棱两两垂直且相等，使我们很快联想到长方体的一个角，马上补成正方体，如图1，则AC=BC=CD=■，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，转化为第一类问题，故所求表面积是9π。
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例4 一个四面体的所有棱长都为■，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.3πB.4πC.3■πD.6π
分析：截面法。需注意球心在高线上，将空间问题转化为平面问题，在直角三角形中，计算出球的半径。
补形法。由于所有棱长都相等，我们联想到正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A-BDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE=BE=■，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为■，从而外接球的直径也为■，所以此球的表面积便可求得，故选A。
例5 已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=■，则球O的体积等于_____。
分析：本题可采用补形法。需要找出球心，求出球的半径，而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA⊥平面ABC，AB⊥BC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图3所示的长方体，又因为DA=AB=BC=■，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3。故球O的体积等于■π。
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2.构造长方体

例6 （2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB=6，AC=2■，AD=8，则B、C两点间的球面距离是_____。
分析：本题可采用补形法。首先可联想到例5，构造下面的长方体，如图4，图于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在Rt△ABC中，求出BC=4，所以∠BOC=60°，故B、C两点间的球面距离是■π。
总之，外接球的问题主要采用补形法和截面法。关键是要注意：①在三条棱两两垂直时，或对棱相等或棱长都相等时可补形，将问题简单化；②截面法要考虑球心的位置，要做出通过球心的截面。
参考文献：
叶尧城.高中数学课程标准教师读本严士健王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）.
（作者单位：河南省荥阳市第二高级中学）