试论高屋建瓴高屋建瓴——高观点下高考数学试题命制思路研究

自数学高考开始使用新课标卷以来，我们注意到各省的数学高考考试说明都在强调试题要坚持能力立意。德国数学家克莱因曾说过“站得高才能看得远”，而高等数学能让我们站在高处，它的基本思想、基本方法和基本问题为高考试题的命制提供了丰富的背景和思路，它无疑是“考查能力”的一块沃土。可是高中教师将此类试题的命制作为研究对象的却很少，因此我结合近年高考及各地模拟试题，研究高观点下高考数学试题的命制思路，从而有效地指导我们的中学数学课堂教学。纵观近年来的高考及各地的模拟卷，我认为高观点下的数学试题的命制可以从以下五条途径进行研究。

1.以高等数学符号、概念为背景来设计试题。

此类题目的命制是在题设中直接引入了高等数学中的某些概念、结论、运算等，要求学生能内化题目给定的信息，抓住相应的关系和特征，结合原有的初等知识解决问题。
例1（2009福州）在空间直角坐标系中，对其中任何一向量 ，定义范数 ，它满足以下性质： ，当且仅当 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数 ， （注：此处点乘号为普通的乘号）。（3） 。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有一个向量 ，下面给出的几个表达式中，可能表示向量 的范数的是__（4）___.（把所有正确答案的序号都填上）
（1） （2） （3） （4）
【追根寻源】设V（F）是数域F上的线性空间，定义在F上的实值函数P：V（F）→R如果满足以下条件：
正定性：║x║≧0，当且仅当x=0时等号成立；
齐次性：║kx║=∣k∣║x║；k∈R；
三角不等式：║x+y║≦║x║+║y║；
则称此实值函数P为V（F）上的范数，给定范数的线性空间（X，P）为赋范空间。[
【评析】本题以大学范数的概念为载体，考查演绎推理，抽象函数及其应用的。该函数具有一定的抽象性及函数图象的不可作出性，因此该函数的性质在理解时也具有很强的抽象性，体现了高考对数学本质、数学概念和性质的形成过程的考查.考查了学生的阅读理解能力、推理论证能力、抽象概括能力、数据处理能力。
【说明】高斯函数、小数函数、狄利克雷函数、分渐近线、凸凹性、整除性环域、群、封闭性等均可成为此类试题的源泉。

2.以高等数学的运算系统为背景来设计试题

此类题目的命制是以高等数学的抽象代数中的运算系统知识为背景设计一个陌生的数学情景，给出一定容量的新信息，通过阅读相关信息，捕捉解题灵感而进行解答的一类新题型。
例2（2011广东高考）设S是整数集Z的非空子集，如果 有 ，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集， 且 有 有 ，则下列结论恒成立的是（A）
A. 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
【追根寻源】假定G是一个有代数运算“○+”的非空集合，如果满足下面条件，那么我们就说G对于代数运算“○+”构成群：
（1）结合律成立：即对于任意 都有（ ○+ ）○+ = ○+（ ○+ ）；
（2）在G中存在一个元素 ，叫做G的单位元，对于任意 ，都有 ○+ = ○+ = ；（3）对于任意 G，在G中存在一个元素 叫做 的逆序元，使得 ○+ = ○+ = ，这里 是一个固定的单位元。
【评析】此题以大学的群运算为载体，正确理解封闭的含义是解答的关键。试题具有一定的开放性，便于考查学生对新颖材料的学习理解能力、信息处理的解题能力。
【说明】整除性、环域、群、封闭性常为构成此类试题的源泉。

3.以高等数学的知识居高邻下设计试题

此类试题运用高等数学的公式、定理、性质或其变式、引申，居高邻下设计试题，再利用初等数学知识来解决问题。
例3.（2013江西高考）已知函数 ， 为常数且 。若 满足 ，但 ，则称 为函数 的二阶周期点。如果 有两个二阶周期点 ，试确定 的取值范围。
【追根寻源】不动点原理是高等数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理。完整的表达：完备的距离空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f（x）=x。
【评析】高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现。就如本题学生只要理解函数f（x）的不动点的定义：不动点是方程f（x）=x的实数根。本题只要将 的实根 求出，再扣除不动点。此题只是在原来常见的求不动点的题型的基础上稍微进行了变化。
【说明】格朗日中值定理、闭区间上连续函数的介值性定理、根据同构观点利用“关系映射反演原则”对数学问题进行等价变换和求解、利用射影变换、仿射变换方法构造几何题都常为此类试题的源泉。

4.以中学数学概念、知识的延伸来设计试题。

高等数学所涉及的知识点要比初等数学所涉及的多（而且深），大学的许多内容是在中学知识的基础上进行引伸、推广的。所以可以中学数学概念、知识的延伸来设计试题，而此内容正是高等数学研究的范畴，此类题能较好地达到考查学生进一步学习数学的能力。

5.以高等数学的思想为背景设计试题

数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，高等数学中重要的数学思想有函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等等。此类试题体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。
例4（2010福建高考）对于具有相同定义域 的函数 和 ，若存在函数 （ 为常数），对任给的正数 ，存在相应的 ，使得当 且 时，总有 则称直线 为曲线 与 的“分渐近线”。给出定义域均为D= 的四组函数如下：
① ， ；② ， ；
③ ， ；④ ， 。
其中，曲线 与 存在“分渐近线”的是（C）
A.①④B.②③ C.②④ D.③④
【解析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是 时， 进行做答。
【说明】初等数学和高等数学的数学思想存在着直与曲、常与摘自：毕业论文工作总结www.618jyw.com
变、有限与无限、间断与连续等统一的一面。所以试题的命制还可以以此为着眼点。
对于高观点下的数学试题，绝不是要求教师提前教高等数学知识，解决这个问题的关键是如何进行转换和过渡，这就要求教师高屋建瓴地处理数学教材，教学生如何进行知识的正迁移，建构出熟悉和谐的知识体系和问题背景。
参考文献1陈素贞高观点下中学数学试题的编制模式探究 2012.4
2郭丽云以数学思想为背景的高观点试题探析 中国数学教育2010.8