浅议浅谈浅谈两类常见集合区别

摘 要：集合是整个高中数学的基础，是使用数学语言表述数学问题的基础.集合是集合论中原始的不定义的概念，只能给出对集合概念的描述性说明，即是“某些指定的对象集在一起就构成了一个集合”.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，显然“某些对象”可以是“一些数”“一些点”“一些图形”“一些式子”“一些物体”“一些人”等.以“一些数”为指定对象构成的集合叫做数集，以“一些点”为指定对象构成的集合叫做点集.在学习时一定要注意区分这两类特殊的集合.
关键词：集合；数集；点集

一、表示形式的差别

1.用列举法表示数集和点集的形式是完全不同的.所谓列举法，就是把集合中的每一个元素都一一写出来.如：
数集有：{1}，{-1，0}，{a，b，c}等等；
点集有：{（1，2）}，{（0，1），（-1，0）}，{（a，b，c），（d，e，f）}等等.
2.用描述法表示数集和点集的形式也是完全不同的.所谓描述法，就是把集合中元素的共性提炼出来并限定范围.如：
数集有：{x│x∈R}，{y│y=x2}等等；
点集有：{（x，y）│y=x}，{（x，y）│y=x2}等等.
显然，从上面例子可以看出，数集和点集的表示形式是完全不同的.

二、表示意义的差别

例1. A={x│y=x2+1，x∈R}，B={y│y=x2+1，x∈R}，C={y│x=y2+1，y∈R}，D={（x，y）│y=x2+1，x∈R}，试问这四个集合是否表示同一集合？请说明理由.
解：从表示形式上可以看出，集合A，B，C是数集，而集合D是点集，集合D表示的是抛物线上的点构成的集合，故A，B，C与D不是同一个集合，再看A，B这两个集合，A中的元素为x，x是函数y=x2+1的自变量，即集合A是函数y=x2+1的定义域，由题意可知A=R；而B中的元素为y，y是函数y=x2+1的函数值，即集合B是函数y=x2+1的值域，由题意可知B={y│y≥1}，显然这两个集合中的元素不完全相同，故不是同一集合.显然将集合C中x，y全部互换可得：C={x│y=x2+1，y∈R}，显然它与集合A是同一个集合.
点评：显然从上面例子可以看出数集和点集的表示意义也是完全不同的.因此遇到集合问题，首先就应该弄清楚集合的元素是什么？有何表示意义？这样才不至于引起混淆.

三、集合运算上的差别

例

2.（1）已知集合M={x│x≥1}，N={y│0≤y≤5}，求M∩N？

（2）已知集合A={（x，y）│4x+y=6}，B={（x，y）│3x+2y=7源于：论文参考文献www.618jyw.com
}，求A∩B？
解：（1）中M，N显然均是数集，借助数轴可知，
M∩N={x│1≤x≤5}；
（2）中显然是点集，表示的是直线4x+y=6与3x+2y=7的交点构成的集合，故有：
4x+y=63x+2y=7，解得x=1y=2，∴A∩B={1，2}.
例

3.（1）已知集合M={y│y=x2+2}，N={y│x2=-y+2}，求M∩N？

（2）已知集合A={（x，y）│y=x2+2}，B={（x，y）│x2=-y+2}，求A∩B？
解：（1）中M，N为数集，由它们所表示的意义可知，M={y│y≥2}，N={y│y≤2}
如图所示，借助数轴可知，M∩N={2}.
（2）中A，B为点集，表示的是抛物线y=x2+2与x2=-y+2的交点构成的集合，故有：
y=x2+2x2=-y+2，
解得x=0y=2
∴ A∩B={（0，2）}
点评：由例2，例3可知，数集与点集在求交并运算时，所用的思想方法和所得的结果是截然不同的.在求由不等式为条件构成的数集的交集时，可结合数轴，用数形结合的思想帮助简化思维过程；在求以方程为条件构成的点集的交集时，则需联立方程组求交点.
综上可知，在数学学习中，我们一定要时刻注意数集和点集的差别，抓住本质，以不变应万变，这样才能准确地解决集合中的相关问题.
参考文献：
沈汝彪.集合论的孕育与诞生[J].数学通报，2000（05）.
朱梧，肖奚安.集合论导引.大连理工大学出版社，2008-03.
（作者单位 湖北省黄冈中学）