探讨立体几何中职数学立体几何证明

更新时间:2023-12-27 点赞:6312 浏览:21350 作者:用户投稿原创标记本站原创

【摘 要】以中职数学立体几何的知识为例阐述定理,命题的证明方法,培养学生的逻辑推理能力。
【关键词】立体几何;定理;命题;逻辑推理能力
数学具有逻辑严谨性的特点,数学中的定理,命题,常以逻辑推理作保证,要求言必有证。目前初中平面几何教学要求降低,中职学生生源又受到“普高热”的冲击,学生往往以较低成绩进入中职学校学习。这些客观原因使得中职学校的学生认知前提差,思维能力较差。他们觉得立体几何的证明抽象,严谨,大部分学生不会进行具体的证明。立体几何题目繁多,就其类型来讲,一般有证明空间中等直线、平面的垂直与平行,角的相等与不等,线段的相等与不等。虽然证明题目千变万化,但其规律和类型都是有限的,因此要注意引导,培养学生发现解题规律,掌握学习方法和思维方法。

一、培养学生观察、分析定理,命题的内容

在立体几何中当命题引出后,要引导学生切实分清命题的条件和结论,将文字叙述的命题改用数学语言来表示。例两平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。可以用数学语言描述:已知平面α,β,有两条相交直线a,b交于点P,若a∥β,b∥β,则α∥β。(如图1)
将文字语言,符号语言和图形语言配合使用,有助于让学生读懂,看懂题目,理解题意。

二、培养学生对定理进行归纳总结,使之系统化

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册基础模块中涉及的主要定理是判定垂直与平行,可按其逻辑关系进行纵向整理。如判定定理的构成遵循线线?线面?面面的原则,逐步从简到繁;而性质定理的构成,则遵循面面?线面?线线的原则。
不妨设直线为a,b,c,平面为α,β。(如图2)
只有将定理组成一个网络,使知识系统化、条理化,才能进一步深刻的掌握定理,以便能熟练地应用定理为依据来证明立体几何题。

三、培养学生掌握定理,命题的证明方法

给出一道立体几何题,它的证明方法是多种多样的,而掌握证明方法,关键在于摸清它的解题思路,当确定了正确的解题思路后,才能给出证明的步骤。在证明定理,命题时,对推理的每一步都要写出确切的依据。
1.综合法
在证明中,从已知条件出发到求证,或者从已知到未知,这种方法叫做综合法。
例:四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,证明:SD⊥平面SAB。(如图3)
分析:证明SD⊥平面SAB关键是找到SD与平面SAB内两条相交直线都垂直。通过勾股定理,可得到AB⊥DE,AB⊥SE,命题可得证。
证明:取AB中点E,连接DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,连接SE,则SE⊥AB,SE=,∵SD=1,∴DE2=SE2+SD2,∴∠DSE为直角。又∵AB⊥DE,AB⊥SE,DE∩SE=E.
∴AB⊥平面BDE,∴AB⊥SD。
∵SD与两条相交直线AB,SE都垂直,故SD⊥平面SAB。
从分析中可以看出命题从已知条件出发,根据相应的定义、定理、公式及法则等,初步向欲证的结论推进,从而导出命题的结论。
2.分析法
在证明中,从求证追溯到已知,或者是从未知到已知,这种方法叫分析法。
例:数学下册基础模块第127页练习3,P是平行四边形ABCD外一点,O为AC和BD的交点,E是PC的中点,求证:OE∥平面PAD。(如图4)
分析:要证明OE∥平面PAD,只要在平面PAD中找到一条直线与OE平行,利用分析法,可以将OE∥平面PAD看成已知条件,根据线面平行的性质定理,过OE的平面只要与平面PAD相交,则OE与交线平行。题目中包含OE的平面PAC与平面PAD的交线为PA,则只需证OE∥PA,从而OE∥平面PAD。
证明:∵O为AC和BD的交点,∴O是AC的中点。
又∵E是PC的中点,∴OE∥PA。
又∵OE?平面PAD,PA?平面PAD。∴OE∥平面PAD。
分析法是从证题的结论出发推出所需条件为已知条件,再予以证明,这种方法只是一种解题思路,解题时要把解题思路用倒叙的形式写出。
3.反证法
反证法是通过否定定理、命题的结论,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来。在数学下册基础模块中,证明两条直线是异面直线,有关“惟一性”的命题,直线在平面内,直线与平面的位置关系等问题,都可应用反证法。反证法包括归谬法与穷举法。
例:已知直线a?平面α,点A∈平面α,直线AB∥a,求证:AB?α。
分析:应用反证法,假设AB不在平面α,则AB与a不相交,根据异面直线判定定理,知AB与a是异面直线。
证明:假设AB不在平面α,∵点A∈平面α,∴AB∩α=A.又∵a?α,∴AB与a是异面直线(异面直线判定定理),这与AB∥a矛盾。故假设不成立。∴AB?α。
在此例中,使用归谬法,是命题结论的否定方面只有一种可能性,那么,只要把这一种情况推翻,就能肯定结论成立。
例:证明:两条平行线中一条与一个平面相交,那么另一条也与这个平面相交。
已知:a∥b,a∩α=A,证明:直线b与平面α相交。(如图5)
分析:应用反证法,假设直线b与平面α不相交,则有两种情况:b?α或b∥α,针对这两种情况我们找出与条件矛盾的结论。
证明:假设直线b与平面α不相交,即b?α或b∥α。 (1)若b?α,∵a∥b,a?α,∴a∥α,与a∩α=A相矛盾。
(2)b∥α,∵a∥b,∴a与b确定一个平面β,则平面α和β相交。设α∩β=c,∵b∥α,∴b∥c。
又∵a∥b,∴a∥c且a?α,c?α,故a∥α,与a∩α=A相矛盾。
在此例中,使用穷举法,这是因为命题的结论的否定方面不止一种情况,那就必须把否定方面所有的可能情况一一驳倒,才能肯定结论成立。
4.同一法
一个命题,如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的,那么原命题和它的逆否命题中只要有一个成立,另一个就一定成立,这个原理叫做同一原理。对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证与它等效的逆命题,这种证明方法叫做同一法。同一法是立体几何证明题常用的一种方法。
例数学下册基础模块第127页练习3,P是平行四边形ABCD外一点,O为AC和BD的交点,E是PC的中点,求证:OE∥平面PAD。(如图6)
分析:由已知可得,满足条件的E是唯一的,若做出符合结论要求的OE′∥平面PAD。点E′也是唯一的。
那么根据图形的唯一性即可知E′就是E,命题就可获证。
证明:设E′是PC上的点且OE′∥平面PAD,
∵OE'?平面PAD,PA?平面PAD。∴OE′∥PA。
∵O为AC和BD的交点,∴O是AC的中点。
∴E′是PC的中点。∴E′与E重合。
故OE∥平面PAD。
在运用同一法时,要注意把题设、题断分为若干单一的事项,然后再将决定图形唯一性的条件和结论进行同质的交换。
5.向量法
向量同时具有形与数的特征,是沟通代数与几何的桥梁,数学下册基础模块第七单元平面向量的学习,有助于中职学生进一步体会数学运算的意义,有助于学生掌握处理立体几何问题的代数方法。
例数学下册基础模块第121页例1,空间四边形ABCD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则:四边形EFGH是平行四边形。(如图7)
分析:要证四边形EFGH是平行四边形。只需证=。
证明:连接BD,∵EH是ΔABD的中位线
∴=,同理=
∴=,故四边形EFGH是平行四边形。
运用向量解决立体几何问题都是通过向量的代数运算来实现的。向量提供了一种通过代数运算解决立体几何的工具。向量的学习,有助于学生掌握处理立体几何平行,垂直,线段相等等问题的代数方法。体会数形结合的思想。
立体几何的证明,不同的思路往往会有不同的证法。若能掌握以上的几种证明方法,解题时可采用比较简洁的方法,就能快速的解题。立体几何的证明,要注意证明格式的书写,对于中职学生,通常采用推进式的写法。可保证因果分明,推理连贯。条理清晰,培养中职学生的逻辑表达能力。
【参考文献】
张景斌.中等职业教育课程改革国家规划新教材.数学下册[M].北京:语文出版社,2009.
杨文则.数学思想方法简介[M].昆明:云南大学出版社,2002.
[3]杨礼远.浅谈初中几何命题的证明方法[J].初等数学思想方法选讲[M].黔东南民族师范高等专科学校学报,2003,第21卷(第6期),106-108.
[4]李明振.数学方法与解题研究(第二版)[M].上海:上海科技教育出版社,2002.
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