简述极值利用函数图像解读其在不可导点极值情况基本

【摘要】本文介绍用观察函数图像的方法来理解其在不可导点的极值状况.
【关键词】函数；观察图像；不可导点；极值
在高等数学一元微积分的内容里，函数在某x点的连续性、可导性和函数在该点是否存在极值这三者有如下结论，即函数在某x点不连续则其在该点必不可导也无极值，因此本文仅就连续函数在不可导点的各种情形的极值状况进行探讨解读.
在高等数学教材中判断函数在某x0点的极值状况时，主要是根据函数在x0点两侧临近区域内其导数的正、负状态来判断函数在该x0点是否取得极值.又由于函数在某x点的导数值即为其曲线在该x点切线的斜率值，而某区间上函数在x点的极大（小）值即为函数在该x点邻域内的最大（小）值，因此，根据导数理论和函数的极值概念，我们可以由函数曲线在不可导点x0两侧的切线与x轴的夹角情况，直观地判断出函数在x0点的极值状况.下面用图像进行解读.

一、x0点处左导数与右导数都存在但不相等的情形

根据导数理论，下面将由不可导点x0邻域内的、x0点左右临近切线斜率的状况，直接在各图中给出函数极值的解读结果 .
图1中，函数在x0点的左导数和右导数都存在但不相等，即x0点是不可导点（f′（x0）不存在）.而由于在x0点临近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左正右负”状态，故f（x0）为极大值 .
图2中，函数在x0点的左导数和右导数也都存在但不相等，即x0点也是不可导点.而由于在x0点临近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左负右正”状态，故f（x0）为极小值 .
图3中，函数曲线在x0点的右侧呈现直线形状，且函数在x0点的左导数和右导数也都存在但不相等，即x0点是不可导点.而由于在x0点临近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左正右负” 状态，故f（x0）是极大值 .
图4中，函数在x0点的左导数和右导数亦都存在但不相等，即f′（x0）不存在.而由于在x0点临近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左负右也负” ，即“同负值”状态，故f（x0）不是极值 .
下面各图中，用图1至图四的分析方法，读者可以自己得出图中文字标示的极值结论 .

二、x0点处左导数与右导数中有一个不存在的情形

三、x0点处左导数、右导数都不存在的情形

在上面图11、图12中的x0点，函数的左导数和右导数均为无穷大（f′（x0-0）=∞、f′（x0+0）=∞），即该点是不可导点（f′（x0）=∞） .函数曲线的切线与x轴垂直，但在图11的函数曲线上呈现出 ：x0点左侧临近的切线斜率大于0 ，x0点右侧临近的切线斜率小于0 ；故根据导数理论 ，f（x0）为函数的极大值 ；而在图12中呈现出 ：x0点左侧临近的切线斜率小于0 ，x0点右侧临近的切线斜率大于0；故f（x0）为函数的极小值 .

四、实例解读

下面再举两个实例来说明不可导点处切线斜率与函数极值的关系 .
例1 求函数 y2=x=-xx0xx≥0 的极值 .
由上面知，左导数和右导数均不存在，x = 0 是不可导点 .而由于在x = 0点临近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左负右正”状态，故f（0）=0=0 为极小值 .
例

2、求函数 y=sinx x≤π23π-2x2π x>π2 的极值 .

由上面知，左导数和右导数不相等 ，x = π2 是不可导点 .而由于在x = π2 点临近的两侧，切线斜率的正负值呈现出“左正右负”状态，故fπ2=sinπ2=1 为极大值 .
在上面例一的求解中得到一个结论，即还可以直接利用不可导点处左导数和右导数正负符号是否相同，来判断不可导点的极值状况.如例一中，在不可导点处函数的左导数为负值而右导数为正值 ，故可以判断例一中不可导点处的函数值为极小值 .但如果在不可导点处，左导数和右导数中有一个值为0 ，则不能根据不可导点处左导数和右导数正负符号的异同来判断不可导点的极值状况，这时需根据函数在x0点两侧临近区域内其导数的正、负状态，来判断该x0点是函数的什么极值点.如例二的解答即说明这一点.
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