谈述等比数列利用“等差、等比数列”解答高考数列“压轴题”要求

更新时间:2024-01-09 点赞:24200 浏览:101726 作者:用户投稿原创标记本站原创

由于高等数学学习的需要,自恢复高考以来,数列问题一直是高考试题的六个大题之一,特别是近几年在一些自主命题的试题中出现了一些难以通过求通项来解答的压轴试题,考生得分率很低。现举几例浅谈如何化“无规”变“有规”,使问题得以解决。
例1 2002年高考试题理科22题
设数列{an}满足an+1=a2n-nan+1,n=1,2,3,…,
(Ⅰ)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由其猜想出an的一个通项公式;
(Ⅱ)当a1≥3时,证明对所有的n≥1有
(i)an≥n+2;
(ii)■+■+…+■≤■.
解:(Ⅰ)略
(Ⅱ)先用数学归纳法证明第一个式子
a.当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立
b.假设n=k时不等式成立,即ak≥k+2
那么ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3
也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2。根据a,b对所有n≥1有an≥n+2
再证明第二个式子
由an+1=an(an-n)+1,对于k≥2时有
ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(源于:论文格式范文网www.618jyw.com
k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1
得出ak+1≥2(ak-1+1)≥2k-1(1+a1)
∴■≤■·■,k≥2
■+■+…■≤■·■=■×2×[1-■]≤■
例2 2008年安徽省高考试题理21题
设数列{an}满足a1=0,an+1=ca3n+1-c,n∈N*,其中c为实数。
(Ⅰ)证明:an∈[0,1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1],
(Ⅱ)设0(Ⅲ)设0解答:(Ⅰ)略
(Ⅱ)设0当n≥2时,∵an+1=ca3n+1-c
∴1-an=c(1-a3 n-1)=c(1-an-1)(1+an-1+a2 n-1)
∵0∴1+an-1+a2 n-1≤3且1-an-1≥0,
∴1-an≤3c(1-an-1),1-an≤(1-a1)(3c)n-1,an≥1-(3c)n-1
(Ⅲ)设0当n≥2时,由(Ⅱ)知an≥1-(3c)n-1>0
∴a2n≥[1-(3c)n-1]2=1-2(3c)n-1+(3c)2n-2≥1-
2(3c)n-1
∴a21+a22+...a2n≥n-1-2[3c+(3c)2+...(3c)n-1]=n+1-■>n+1-■
以上试题在近几年高考中非常具有代表性,通过上例可以看出数学归纳是解决数列问题的一种重要的数学方法。
(作者单位:安徽省芜湖市第七中学)
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