探索坐标系妙用坐标系解决三角向量不足

1672-1578（2013）03-0114-02
三角向量是高中数学教学中很重要的两个章节，在高考考纲中其大多数内容都属于级、级要求，正余弦定理以及向量的数量积更是重中之重，是高考重点考察的内容，特别是在填空题中这两部分的内容考得比较灵活，所以在平时的教学中，我们除了要教会学生一些常规的解法外，还需要引导学生掌握一些特殊的解法，开拓他们的思维。
建系是三角向量中一种比较灵活的解法，对于很多新题难题能起到意想不到的效果，下面先通过几个例子，来介绍建系这种思想的特殊功效。
点评：这里涉及到面积的两种算法，法一既要用余弦定理又要用到基本不等式，还要把正弦转化为余弦，对学生的能力要求比较高。法二通过建立坐标系将B、C两点固定后就转化为研究A点纵坐标的范围，学生就自然会通过题目中的条件去分析点A的轨迹，最后发现是个圆，从而快速的得到答案。
通过这个例子我们发现建系以后，题目中的条件得到了很好的转化，处理起来比较方便，接下来我们再来看几个例子。
解析：大多数同学拿到这道题目都会感觉无从下手，条件不会转化。我们先来看一种解法：
解：∵E、F是AB、AC的中点， ∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半， ∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面源于：论文网www.618jyw.com
积=2， ∴△PBC的面积=1，
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由。
∴直线BC经过点E，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险。
点评：如果用常规方法，思路比较清晰，但要同时用到正余弦定理，运算量比较大。建立坐标系来做的话，题目中的角度就有了几何意义，通过三角函数的定义快速求出各点坐标，通过直线方程来说明三点共线，这个比通过计算线段长度来证明要简单得多。
以上几个例题都可以用常规方法来做，通过多次的正余弦定理，或者用向量的基底思想来解决，但过程比较复杂，运算量很大，一般学生很难得到答案，但建立坐标系后，建立平面几何与三角向量的联系，将题目中的条件转化为坐标来处理，解决起来就轻松得多。所以在平时的教学中我们要挖掘教学内容中蕴含的数学思想方法并逐步渗透。在任意角的三角函数的教学中，通过数学模型要让学生充分理解（x，y）与（r，α）之间的关系，体会建系的思想。在向量数量积的教学中，通过常规方法与建系方法的比较，进一步强调建系在解三角向量题中的优势，通过课后的练习加以巩固。
当然除了三角向量，建系还在其他类型的题目中有特殊的功效，我们在平时的教学中不能束缚学生的想法，要让学生大胆的创新，深层次地挖掘学生的创造力。