浅议建模经历建模过程试述积累建模经验

孙惠蓉：小学高级教师，江苏省镇江市新区优秀班主任，区优秀教育工作者，多次在市、区教学比赛中获得一等奖，多次执教区级公开课。有多篇教学论文在国家、省、市教育主管部门的论文竞赛中获得

一、二等奖。

小学生在数学学习中要“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能”。所谓数学建模，是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。包括对实际问题进行提炼、抽象、简化，以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展数学模型的过程。因此，建模既是一种数学思想方法，也是一种重要的数学活动经验。
对小学生而言，结合具体的数学学习活动，经历完整的建模过程，初步体会模型思想，积累建模经验是重要的数学素养之一。现以苏教版小学数学“图形的覆盖的规律”为例，谈谈如何引导学生在建模过程中积累建模经验。

一、模型准备，激活学生已有数学活动经验

帮助学生积累数学活动经验首先要激活学生已有的知识和经验基础。教师需要针对教学内容，设计具有思考价值、有意义的现实问题，引导学生从生活情境中抽象出比较清晰的数学问题，使学生根据已有的知识和经验收集信息，再把问题情境中的生活语言转化为数学语言，并抽象提炼出数学语言，进而把生活问题转化为数学问题，为学生积累数学活动经验做好模型准备、知识准备和经验准备。
教学时，教师用童话形式创设问题情境：精彩的羊羊运动会开幕了，老村长正在给小羊们发门票呢！这100张门票是连号的！如果喜羊羊想和美羊羊坐在一起，他们可以从这100张连号票中拿哪两张票？有的学生说想拿第一张和第二张，有的学生说想拿第2张和第三张，还有学生想到编号，拿1号票和2号票，我顺水推舟地给这些连号票标上数字，然后让学生猜测从100张门票中，每次拿2张连号的票，一共有多少种不同的拿法？学生猜测的答案各不相同，认为题目太复杂。于是，引导学生从简单问题入手：如果有10张门票，每次拿2张连号的票，一共可以有多少种不同的拿法？
学生把门票进行编号，从数学摘自：写毕业论文经典的网站www.618jyw.com
建模的角度看，是学生在了解问题背景、掌握研究对象相关信息的基础上，根据问题特征和学习目的对门票的简化，并用简明、精确的数学语言——编号进行描述，反映了学生具有数学“简化”的潜意识，也就是开始了数学建模第一步——模型准备。教师通过为学生提供完整真实的问题背景，一方面可以激发学生产生积极的学习心理，另一方面，学生在激活已有数学活动经验基础上，为形成新的数学活动经验做好了充分准备。

二、建立模型，引导学生形成数学活动经验

数学活动经验“是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果”，需要学生在“做”数学和“思考”数学的过程中逐步积累。教学时，教师结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，引导学生充分经历建模过程，努力帮助学生在建模过程中形成数学活动经验。建模首先要引导学生针对问题特点和建模目的提出合理假设，引导学生在操作、证明、交流和质疑中用事实验证自己的假设（或纠正自己的错误假设）。
学生在作业纸上用画一画、连一连或者数一数的方法进行探究，发现一共有9种不同的拿法。学生汇报后，笔者边张贴1～10的数表，边用方框演示框中的两个数表示一种拿法（告诉学生用长方形方框框住1和2，就相当于拿了第1张和第2张门票），然后让学生演示一下方框的平移，并让学生猜一猜方框可以平移几次，再一起进行平移验证，结果发现方框平移了8次。方框平移了8次，为什么得到的是9种不同的拿法呢？学生发现第一次把框放上去时没有移动，加上这种拿法，一共有8+1=9种拿法。
教师用课件演示拿门票的过程，红框向右平移的过程，每移动一次，红框内对应的第一个数闪烁。帮助学生反思：框住最左边2个数，是第一种拿法，从1开始；平移方框2、3，是第2种拿法，从2开始；平移方框3、4，是第3种拿法，从3开始；继续平移……9、10，从9开始，有9种拿法。这样，学生在操作、交流和反思中初步形成了操作活动经验。
在此基础上，引导学生初步形成模型假设：到所有数框结束为止，从几开始框，就有几种拿法。提出的假设到底对不对呢？于是，教师引导学生思考在10张连号票上每次取3张连号票，有几种不同拿法？每次拿4张、5张呢？学生在四人小组中合作探究。交流时，第一小组的学生说方框移动次数，让其余学生说几种不同拿法，或者说总数和每次框的个数、让其余学生说几种不同拿法，进而让框的学生验证。学生通过观察，发现门票总张数、每次框的张数和不同拿法之间的规律：总张数-每次框的个数+1=不同拿法的总数。再引导学生思考：如果有15张连号的票，每次拿2张，有几种不同的拿法？每次拿4张呢？a张连续的票排成一排，每次拿b张，有多少种不同的拿法？学生通过验证发现自己的假设是正确的。
学生在编号的基础上通过不同操作活动，探索出9种拿法后进一步思考“如果要拿3张连号的门票，一共有多少种不同的拿法”。学生根据刚刚获得的解题经验得出有8种拿法，结合课件演示，把实际“拿门票”的过程抽象出“方框平移次数+1=拿门票的方法总数”。这是学生循序渐进对思维过程简化的结果，也是学生根据实际对象的特征和建模目的，对问题的简化，并用精确语言提出的一种假设，进而引导学生刻画各变量之间的数量关系（平移a-b次，得到a-b+1个不同的和）。学生在解决问题的过程中用精练的数学语言描述规律，说明学生已经建立了数学模型，并引导学生对模型从数学上进行了分析与解释，最后用字母表示，就对模型进行了优化。这样，学生在连续性操作活动中不但积累了操作活动经验——按顺序、不重复、不遗漏地进行平移，而且初步积累了建模的思维活动经验：先提出假设，再进行验证、解释、优化，还在反思过程中内化了数学活动经验。

三、应用模型，帮助学生提升数学活动经验

学生经历了充分的数学建模过程，获得了初步的数学建模能力。再引导学生进行一些应用性练习和拓展性练习，不但能促进学生思维的正向迁移，有效巩固数学建模能力，强化数学建模意识，领悟数学建模思想，而且能引导学生由浅入深地理解规律，学生的思维经历了模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析和模型优化的过程，思维在平衡与失衡的交替中螺旋上升，从而达到提升数学活动经验的目的。
模型建立后，应引导学生利用抽象出的模型解决实际问题。建立模型后，教师引导学生完成以下两个层次的练习：

1. 模型模仿练习。

有100张门票，喜羊羊和美羊羊每次拿连号的两张票，一共有多少种不同拿法？
有100张门票，如果沸羊羊、懒羊羊和喜羊羊、美羊羊他们坐在一起，一共有多少种不同拿法？

2. 模型变式练习。

喜羊羊和美羊羊到会场，发现第一排有18个座位。他们准备坐在第一排的连续两个座位上。如果喜羊羊坐在美羊羊的右边，一共有几种不同坐法？如果第16号座位已经有人坐了，那么，他们现在一共有多少种不同坐法？
在羊羊运动会的庆功宴会上，一张桌子周围有10把椅子，喜羊羊想坐在美羊羊的右边，一共有有几种不同坐法？
学生在应用模型的过程中，不是生搬硬套，而是展示解决问题的思维过程，并加以剖析，加深对数学模型的理解，促进模型的内化。学生在应用建构的数学模型解决较复杂的问题逐层渐进（由模型模仿到模型变式）过程中，对知识能形成更深刻的理解，对数学模型的合理性和局限性有了进一步的认识和反思，从而能灵活运用数学模型解决新问题。
总之，教师努力为学生提供贴近生活实际的建模活动素材，把数学知识与学生的生活实际联系起来，引导学生在探究过程中构建数学模型，然后运用数学模型解决实际问题。学生在建模过程中充分调动已有的“找规律”经验，提出解决“覆盖规律”的假设，进行验证，并将新模型纳入原有认知结构中，形成知识网络。学生在建模活动过程中，从现实问题中抽象出数学结构，经历知识的发生、发展过程，主动建构知识，在获得结构化知识的基础上，积累了数学活动经验。
（编辑：陈诚）