简述判别实负定二次型判别与证明经典

摘 要： 本文给出六种方法判断二次型的负定性，便于学生更好地解决问题.
关键词： 负定矩阵 二次型 对称矩阵
实负定（负定矩阵）二次型的判别方法通常有以下几种：（1）定义法；（2）负惯性指数等于n；（3）顺序主子式的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正；（4）通过与矩阵-E合同；（5）二次型矩阵的特征值都为负；（6）存在可逆实矩阵P，使A+P′P=0.二次型负定的必要条件是它的矩阵的主对角线上的元素都为0，可帮助排除非负定的二次型.下面通过实例分析以上方法的具体应用.
例1：判定二次型f=2xx+2xx-6xx的负定性.
解：f的矩阵为A=0 1 11 0 -31 -3 0，由负定矩阵的必要条件可知此二次型不是负定二次型.
例2：判定二次型f=-5x-6x-4x+4xx+4xx的负定性.
解：方法1：f的矩阵为A=-5 2 2 2 -6 0 2 0 -4，a=-50，-5 2 2 2 -6 0 2 0 -4=80<0，所以由顺序主子式法可知此二次型是负定二次型.
方法2：|λE-A|=λ+5 -2 -2 -2 λ+6 0 -2 0 λ+4=（λ+8）（λ+5）（λ+2）=0，所以λ=-8，λ=-5，λ=-2，有特征值法可知此二次型为负定二次型.
方法3：应用初等变换法对二次型配方，化二次型为标准型为f=-5y-（26/5）y-（68/65）y，负惯性指数为3，所以此二次型是负定二次型.
例3：如果A，B都是n阶负定矩阵，则A，A+B也是负定矩阵.
证明：因为A是负定的，所以A可逆，而且存在可逆实矩阵P，使A+P′P=0，A=-P′P，等式两边同时取逆，A=（-P′P），A=-P（P）′，A+P（P）′=0，所以A是负定矩阵.
因为A，B都是n阶负定矩阵，所以对于任意实向量x≠0，有x′Ax≠0，x′Bx≠0，所以，x′（A+B）x=x′Ax+x′Bx≠0由负定二次型的定义可知，A+B也是负定矩阵.
例4：已知A是可逆矩阵，证明-A′A是负定的.
证明：因为（-A′A）-A′A=-A′A，-A′A，所以是对称的，-A′A=A′（-E）A，所以-A′A和-E是合同的，则-A′A是负定的.
例5：已知A是n阶负定矩阵，判断A（k为大于1的正整数）的负定性.
解：因为A是负定矩阵，所以A的特征值都为负，设它的特征值分别为λ，λ，…，λ，则A的特征值为λ，λ，…，λ.设当k为偶数时，A的特征值均为正的，所以A为正定矩阵；而当k为奇数时，A的特征值均为源于：毕业设计论文范文www.618jyw.com
负，所以A为负定矩阵.
参考文献：
李秀英.负定二次型与半负定二次型[J].通化师范学院学报，2002，23（2）.