试析立体几何高考立体几何对比分析设计
更新时间：2024-04-04
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随着中国义务教育的实施，家长望子成龙的呼声越来越高，人人都希望将自己的孩子送往高等学府继续深造，目前，中国仍然需要通过高考来选拔人才，因此，在高考中考出好的成绩也成为老师、家长、学生的共同呼声.立体几何是每年高考必考内容之一，分值占到高考数学整个卷面分数的12%左右，因此要在高考数学中取得较高的分数，立体几何的地位就不能够不引起重视了. 因此，了解历年的高考试题题型也是很有必要的。
本文正是通过对高考立体几何试题（理科）进行分类、整理和汇总，让读者能明白四川省高考立体几何考查的内容，并作出相应对策. 四川省高考立体几何试题，分值相对稳定，其题型一般是一个解答题，一个选择或填空题.解答题处于整卷解答题的中间，从知识方面看一般和棱柱和棱锥有关，主要考查线线关系.线面关系和面面关系，其重点是考查空间想像能力和推理运算能力.下面是我对四川省高考立体几何试题的一些分类和分析。
1. 线类
如图1所示， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的
图1
（ A） BD∥平面CB1D1
（ B） AC1⊥BD
（ C） AC1⊥CB1D1
（ D）异面直线AD 与 CB1所成的角为
解析：选 。显然异面直线 与 所成的角为45°
2. 球类
设M，N 是球O 半径OP 上的两点，且NP=MN=OM ，分别过N，M，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为 （ ）
（A）3：5：6 （B）3：6：8 （C）5：7：9 （D）5：8：9
解析：由题知，M 、 N是 OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比。在球的轴载面图中易求得：
R2-（R3）2=8R29，R2-（2R3）2=5R29
故三个圆的半径的平方之比（见文献）为R2：89R2 ：59R2，故本题选D。
本题着意考查空间想象能力。
答案：2。
解析：设四棱住的边长为a，高为h.
由题意得 a2+a2+h2=6cosθ=26a=33=>a=1h=2=>V=a2h=2
每年的选择题、填空题难度设计均为容易题和中档题，多为线线.线面关系，近五年四川省高考解答题部分，立体几何通常是一个，以棱柱、棱锥、直角梯形为载体，其中直线与直线、直线与平面的位置关系一直是高考立体几何的考查热点，因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又可以考查空间的线线和线面关系，并将证明和计算有机地结合在一起，可以比较全面准确地考查考生的空间想像能力.逻辑推理能力以及运算能力.一般设置两个或三个小题，层层递进，由浅入深。
[例]：已知PCBM 是直角梯形，∠PCB=90° ，BM∥BC ， PM=1，BC=2又 AC=1，∠ ACB=120°， AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥P-MAC 的体积。
摘自：毕业论文格式模板www.618jyw.com
本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一：如图2
图2
（Ⅰ）∵ PC⊥AB，PC⊥BC
∴ PC⊥平面ABC
∵PC包含于平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC
（Ⅱ）取 BC的中点N ，则CN=1，连结AN，MN
∵ PM∥CN
∴MN ∥PC，从而 MN⊥平面ABC
作NH⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH
则由三垂线定理知， AC⊥MH
从而 ∠MHN 为二面角M-AC-B 的平面角
直线AM 与直线 PC所成的角为60°
∴ ∠AMN=60°
在△ACN 中，由余弦定理得AN= AC2+CN2-2AC·CN·con120°=3
在△AMN 中， MN=AN·cot ∠AMN=3×33=1
在△CNH 中，NH=CN·sin∠Nch=1× 32= 32
在△MNH 中，tan∠MHN= MNNH=1 32= 233
故二面角M-AC-B 的平面角大小为 arctan 233
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， PCMN为正方形
∴ VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=13×12AC·CN·sin120°·MN= 312
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CD⊥CB ，建立空间直角坐标系C-XYZ （如图3）
图3
由题意有 A（ 32，- 12，0）
设 P（0，0，Z0）（Z0>0）
则 M（0，1，Z0）， AM→=〔 - 32， 32，Z0〕CP→=（0，1，Z0）
由直线AM 与直线 PC所成的解为 60°
得 AM→·CP→=∣AM→∣·∣CP→∣·cos60°
即 Z02=π2Z02+3·Z0，解得 Z0=1
∴ CM→=（0，1，1），CA→=〔 32，- 32，0 〕 源于：免费论文网站www.618jyw.com
本文正是通过对高考立体几何试题（理科）进行分类、整理和汇总，让读者能明白四川省高考立体几何考查的内容，并作出相应对策. 四川省高考立体几何试题，分值相对稳定，其题型一般是一个解答题，一个选择或填空题.解答题处于整卷解答题的中间，从知识方面看一般和棱柱和棱锥有关，主要考查线线关系.线面关系和面面关系，其重点是考查空间想像能力和推理运算能力.下面是我对四川省高考立体几何试题的一些分类和分析。
1. 线类
如图1所示， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的
图1
（ A） BD∥平面CB1D1
（ B） AC1⊥BD
（ C） AC1⊥CB1D1
（ D）异面直线AD 与 CB1所成的角为
解析：选 。显然异面直线 与 所成的角为45°
2. 球类
设M，N 是球O 半径OP 上的两点，且NP=MN=OM ，分别过N，M，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为 （ ）
（A）3：5：6 （B）3：6：8 （C）5：7：9 （D）5：8：9
解析：由题知，M 、 N是 OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比。在球的轴载面图中易求得：
R2-（R3）2=8R29，R2-（2R3）2=5R29
故三个圆的半径的平方之比（见文献）为R2：89R2 ：59R2，故本题选D。
本题着意考查空间想象能力。
3. 棱柱类
已知正四棱柱的对角线的长为 6，且对角线与底面所成角的余弦值为 33，则该正四棱柱的体积等于________________。答案：2。
解析：设四棱住的边长为a，高为h.
由题意得 a2+a2+h2=6cosθ=26a=33=>a=1h=2=>V=a2h=2
每年的选择题、填空题难度设计均为容易题和中档题，多为线线.线面关系，近五年四川省高考解答题部分，立体几何通常是一个，以棱柱、棱锥、直角梯形为载体，其中直线与直线、直线与平面的位置关系一直是高考立体几何的考查热点，因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又可以考查空间的线线和线面关系，并将证明和计算有机地结合在一起，可以比较全面准确地考查考生的空间想像能力.逻辑推理能力以及运算能力.一般设置两个或三个小题，层层递进，由浅入深。
[例]：已知PCBM 是直角梯形，∠PCB=90° ，BM∥BC ， PM=1，BC=2又 AC=1，∠ ACB=120°， AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥P-MAC 的体积。
摘自：毕业论文格式模板www.618jyw.com
本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一：如图2
图2
（Ⅰ）∵ PC⊥AB，PC⊥BC
∴ PC⊥平面ABC
∵PC包含于平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC
（Ⅱ）取 BC的中点N ，则CN=1，连结AN，MN
∵ PM∥CN
∴MN ∥PC，从而 MN⊥平面ABC
作NH⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH
则由三垂线定理知， AC⊥MH
从而 ∠MHN 为二面角M-AC-B 的平面角
直线AM 与直线 PC所成的角为60°
∴ ∠AMN=60°
在△ACN 中，由余弦定理得AN= AC2+CN2-2AC·CN·con120°=3
在△AMN 中， MN=AN·cot ∠AMN=3×33=1
在△CNH 中，NH=CN·sin∠Nch=1× 32= 32
在△MNH 中，tan∠MHN= MNNH=1 32= 233
故二面角M-AC-B 的平面角大小为 arctan 233
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， PCMN为正方形
∴ VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=13×12AC·CN·sin120°·MN= 312
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CD⊥CB ，建立空间直角坐标系C-XYZ （如图3）
图3
由题意有 A（ 32，- 12，0）
设 P（0，0，Z0）（Z0>0）
则 M（0，1，Z0）， AM→=〔 - 32， 32，Z0〕CP→=（0，1，Z0）
由直线AM 与直线 PC所成的解为 60°
得 AM→·CP→=∣AM→∣·∣CP→∣·cos60°
即 Z02=π2Z02+3·Z0，解得 Z0=1
∴ CM→=（0，1，1），CA→=〔 32，- 32，0 〕 源于：免费论文网站www.618jyw.com
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