探讨数列数列教学中数学思想办法信

【摘要】在解决数列的问题中蕴含着许多重要的数学思想方法，主要涉及的思想方法有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、归纳猜想思想等等.在教学中适时运用，有利于提高学生的数学素养，起到事半功倍的作用 .
【关键词】化归与转化思想；分类讨论思想；函数与方程思想；数形结合思想
数学思想是数学学习和研究中解决问题的根本思想，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂，它具有本质性，概括性和指导性的意义，在解决数列的问题中蕴含着许多重要的数学思想方法，主要涉及的思想方法有：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，等价转化思想、归纳猜想思想等等.在教学中适时运用，有利于提高学生的数学素养，起到事半功倍的作用 .

一、化归与转化思想

数学研究中，使一种研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想称为化归与转化思想.它体现在教学的解题中就是将问题变形，使之转化，直至最终归结为人们熟悉的或易于解决或已经解决的问题.在数列中许多问题都能根据这种思想得以解决.数列的求和问题可通过转化为等差数列的等比数列的求和公式来求和，求数列的通项公式也是这样，而数列的许多问题，如数列应用题，也是将它转化为等差数列问题、等比数列问题、递推关系的问题.

二、分类讨论思想思想

分类讨论思想的本质是逻辑划分思想在数学中的一种具体表现.就按照一定的标准，把研究对象分成若干部分，分类讨论是数学能力培养的重要部分，.运用分类思想解题，要特别注意导致分类的原因，才能恰当地进行讨论证明.分类讨论的思想在数列中的体现，主要就是表现在对字母范围的讨论上.由于字母范围的不确定，从而使问题无法解决，例如涉及等比数列前n项和的问题，由于等比数列的前n项和与公比有关，在公比q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q .所以必须对公式比进行讨论.在涉及前n项和时，有时数列的次数不确定，从而导致和式变化；所以往往对项数n分奇数与偶数讨论.在递推关系中，若已知Sn与an的关系，一般地处理方式是再写出Sn-1与an-1的关系，两式作差相减，但必须讨论n=1时的情况.
例3 求数列x+1y，x2+1y2，x3+1y2，......xn+1y的前n项的和.
分析略解 求此数列的前n项和可归结为求公比分别为x和1y的两个等比数列的前n项和，而在运用等比数列的前n项和公式时公比不能为1，故此题需要分为四种情况分类讨论.

三、函数与方程的思想

数列本身就是一种函数，这种函数的自变量N+，即定义域是N+，从而表现在图像上就是离散的点，数列具有单调性，例如等差数列（除去公差为0的情况），等比数列（如a1>0，q>1），因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题就可以利用函数的思想，转化成求函数的值域问题，或解不等式.在等差、等优秀论文查重www.618jyw.com
比数列中，已知五个基本量中的几个，来求另几个时，往往是设基本量，建立方程或方程组来解决问题.

四、数形结合的思想

数形结合的思想在数列中，主要表现在将数列问题中数的问题转化成函数上形的问题来解决.例如：等差数列通项公式an=a1+（n-1）d=d·n+（a1-d），是关于n的一次函数关系，因此当涉及等差数列单调性的问题时就可以利用直线的性质来解决，涉及等差数列前n项和最值的问题也可以用an≥0，an+1≤0或an≤0，an+1≥0处理.再如： Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+a1-d2n，是不含常数项的二次函数关系，因此它的前n项和的图像就可以转化成为利用二次函数图像来解决数列的有关问题.
见例4
解法2 Sn=-32n2+2052n是关于n（n∈N*）的二次函数，由于二次项系数为-32，可知抛物线点列是开口向下的，则数列{an}是等差数列且公差d为负值，又因为点列的顶点横坐标为-20522（-32）=2056=3416，故知数列从第35项开始数列{an}的项为负值.
当n≤34时，S′n=Sn=-32n2+2052n，当n≥35时，
S′n=S34+（S34-Sn）=2S34-Sn
=2-32×342+2052×34--32n2+2052n=32n2-2052n+3502.
故Tn=-32n2+2052n（n≤34）
32n2-2052n+3520（n≥35）
【参考文献】
肖学平.智慧的阶梯：论数学思想方法的教与学「M」.北京：国防大学出版社，2002：1.
王厚雄.高中数学教材完全解读「M」.北京：中国青年出版社，2009：58.
[3]马虹.数学[M].长春：东北师大出版社，2011：62.