试谈导数导数运用易错点辨析

摘 要：导数是分析和解决函数问题的强有力工具，利用导数可求曲线的切线，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值。
关键词：导数定义；切线；单调性
在学习导数时，有许多问题形式相似，但实质不同，学生在解决此类问题时，由于对导数基本概念、理论的理解存在误区，造成解题失误。本人结合教学实践对相关的问题加以归纳辨析。
误区一：对导数的定义理解不清
例1：已知函数f（x）=lnx+■x2+1，则■■=（ ）
A.■ B.-5 C.■ D.以上都不是
错解：∵f′（x）=■+x，∴原式=f′（2）=■所以选择A。
分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可。
解：由于■■=■（-2）·■= -2■■=-2f'（2）
∵f′（x）=■+x，∴-2·f′（2）=-2·（■+2）=-5，应选B。
点评：根据导数的定义f′（x）=■■=■■？圳f′（x0）=■■表示函数在某一点x0的导数，分子分母自变量的增量？驻x必须一致，它是非零的变量，它的形式多样，可以是-2？驻x，■？驻x等形式。但无论哪种形式？驻x与？驻y必须一致。
误区二：曲线在某点处的切线与过某点的切线问题区分不清
例

2.已知曲线f（x）=■x3-■

（1）求曲线在点P（2，2）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，2）的切线方程。
分析点拨：以上两个问题是导数应用中常见的求切线问题。由于在两个问题中，出现了两个不同的关键字“在”与“过”，学生易区别不清，从而陷入误区，实际上两者貌似而质异。
问题（1）中切线必须在曲线上的点P（2，2）处相切，所以切线不仅需要过P点，而且P也是切点。
而问题（2）中切线要求必须过点P（2，2），但P是否是切点却不一定，可能是切点也可能不是切点。简析如下：
（1）f′（x）=x2，∵点P（2，2）是切点，∴k=f′（2）=4，
故所求切线方程是4x-y-6=0
（2）设曲线f（x）=■x3-■与过点P的切线相切于点（x0，■x03-■），由导数的几何意义知切线的斜率k=f′（x0）=x02，∴切线方程为y-（■x03-■）=x02（x-x0），∵切线过点P，∴4-（■x03-■）=x02（2-x0），解得切点的坐标为x0=-1，y0=-1，或x0=2，y0=2，从而求得切线方程是4x-y-6=0或x-y=0。
误区三：对函数“单调性”与“导数值符号”的关系理解不清
一般地，设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）>0，则 f（x）在此区间为增函数；如果f′（x）<0，则f（x）在此区间为减函数，要用导数判断函数的单调性，除掌握以上依据外，还应明确以下两点（以增函数为例）：

1.f′（x）>0与f（x）为增函数的关系

由上可知，f′（x）>0，则f（x）为增函数，但反之不一定。
如f（x）=x3在（-∞，+∞）上为增函数，但f′（0）=0，即f′（x）≥0，所以f′（x）>0是f（x）为增函数的充分不必要条件。
2.f′（x）≥0与f（x）为增函数的关源于：论文发表网www.618jyw.com
系
由上分析：f（x）为增函数，则一定可推出f′（x）≥0，但反之不一定成立，因为f′（x）≥0为f′（x）>0或f′（x）=0。两者有一成立即可，当函数f（x）在某区间内恒有f'（x）=0时，f（x）为常数函数，此时f（x）就不具备单调性，所以，f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件。
例3：已知函数f（x）=■x3+■ax2+x-1（x∈R），若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围。
解：因为f（x）=■x3+■ax2+x-1（x∈R）
所以f′（x）=x2+ax+1
若？驻=a2-4<0即-20
∴f（x）在R上单调递增
若？驻=a2-4=0即a=±2时，对于x∈R有f′（x）≥0
当且仅当f′（±2）=0，∴f（x）在R上单调递增
若？驻>0，显然不合
综上所述，若f（x）在R上是增函数，a的取值范围为a∈[-2，2]。 评注：函数的单调性为函数的一条重要性质，我们一定要理解好以上两个关系，用导数判断函数的单调性。
在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维、简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
（作者单位 福建省三明市建宁县建宁一中）