正方形,角形,等腰直角三角形添补成正方形可解多种题型

数学解题是不断地将未知转化为已知,对于较复杂的理由,若沿着由条件到的方向深思小学英语教学论文寻求解题途径十分困难,无以下手时换角度去深思小学英语教学论文理由,对题中条件与的观察、比较和联想恰当地构造出能解题的图形,然后将欲解的理由转化为探讨该图形的性质,到达解题的目的.
在解有关等腰直角三角形理由,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再正方形的性质来解,常常起到化难为易,以简驭繁的效果,以而顺利地解法,请看如下数例：
1 求角度
例1如图1,Rt△BCD中,CD=CB,∠BCD＝90°,E为△BCD内一点,且DE＝DC,BE＝CE,求∠CDE的度数.
剖析 此题按常规策略教学论文不易解出,但由已给条件是等腰直
角三角形,引辅助线转化成正方形,做法是：
画等腰Rt△BCD关于BD的对称的等腰Rt△BAD,可知四边形CBAD为正方形,连结AE,BE＝CE,所以∠EBC＝∠ECB,可得∠ABE＝∠DCE＝∠DEC,AB＝DC,易证△ABE≌△DCE,所以AE＝DE＝AD,所以∠ADE＝60°,可得∠CDE＝30°.
2 证角等
正方形性质如下：正方形ABCD中,如图2,BE⊥GN,三角形全等可证得BE＝GN.此性质在下面证题中有运用.
例2 如图3,Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,M为AC中点,连结BM,作AD⊥BM交BC于点D,连结DM,求证：∠AMB＝∠CMD.
剖析 以已知条件出发,此题将原图形引辅助线转化成正方形,使解题思路变得清楚.做法是：画等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC,延长AD交CF于点N,AN⊥BM,由正方形的性质,可得AN＝BM,易证Rt△ABM≌Rt△CAN,所以∠AMB＝∠CND,CN＝AM,M为AC中点,所以CM＝CN,∠1＝∠2,可证得△CMD≌△CND,所以∠CND＝∠CMD,所以∠AMB＝∠CMD.
3 判定三角形形状
例3 如图4,Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,AD＝CE,AN⊥BD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.
剖析 在等腰Rt△ABC中,由AN⊥BD,这里联想到上面提到的正方形的性质,可将原图形引辅助线转化为正方形.
做法是：画出等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC,可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K,⊥BD,可知,＝BD,易证：Rt△ABD≌Rt△C,所以∠ADB＝∠CKN,CK＝AD,AD＝EC,所以CK=CE,易证△CKN≌△CEN,所以∠CKN＝∠CEN,易证∠EDF＝∠DEF,所以△DEF为等腰三角形.
4 求面积

4.1 等积变形求矩形面积

例4 如图5,Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,D为BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,且BE＝4,CF＝3,求S矩形DFAE.
剖析 此题可用比来解,也可用方程来解,都嫌得稍繁些,但以已知条件看还是将原图形引辅助线转化为正方形,再正方形性质去解较简便.即：画等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB,可知四边形ABGC为正方形,延长FD、ED交BG、CG于点N、M,可知DN＝EB＝4,DM＝FC＝3,由正方形对称性质,可知,S矩形DFAE＝S矩形DMGN＝DM•DN＝3•4＝12.

4.2 比求三角形面积

例5 如图6,等腰Rt△ABC中,∠A＝90°，AB＝AC＝1,E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且EF⊥BE,求S△CEF.
剖析 将原图形引辅助线转化为正方形,即画等腰Rt△ABC关于BC的对称等腰Rt△GBC.延长EF交CG于点D,EF⊥BE,所以∠CED＋∠AEB＝90°,∠A＝90°,所以∠ABE＋∠AEB＝90°,所以∠ABE＝∠CED,而∠ECD＝90°,可知Rt△ABE∽Rt△CED,再由E为AC中点,即得CE[]CD=AB[]AE＝2,由CF平分∠ECD,所以点F到CE、CD的距离相等,所以S△CEF[]S△CDF＝CE[]CD＝2,易得S△CEF＝2[]3S△CED,又AB＝AC＝1,所以S△CEF＝2[]3S△CED＝2[]3•1[]4•S△ABE
5 求线段长
例6 如图7,△ABC中,AD⊥BC于点D,∠BAC＝45°,BD＝3,CD＝2,求AD的长.
剖析 此题用面积公式勾股定理再列方程组求解是的,但解法太繁,本题已知条件等腰直角三角形,但因∠BAC＝45°,若以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90°的图形,等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形.勾股定理列出方程求解较为简便,以解法是：AB为轴画Rt△ADB的对称的Rt△AEB,再以AC为轴画Rt△ADC的对称的Rt△AFC.可知BE=BD=3,FC=CD=2,延长EB、FC交点G,∠BAC＝45°,由对称性,可得∠EAF＝90°,且AE＝AD＝AF,易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD,设AD＝x,则BG＝x－3,CG＝x－2,在Rt△BCG中,由勾股定理,得(x－2)2+(x－3)2＝52,解得x＝6,即AD＝6.
6 求最小值
例7 如图8,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求PM＋PC的最小值.
剖析 已知点M、C为定点,P为AB上的动点,且点M、C在AB的同旁,要求出PM＋PC的最小值,需找出点C(或点M)关于AB的对称点,解法是：将原图形引辅助线化归为正方形,即画Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB,可知四边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,则PM＋PC的值为最小,最小值为：PM＋PC＝DM＝42+22＝25.
以数例,将等腰直角形中较难解决的题目引辅助线转化成正方形能起到解题的性作用,使解题思路清楚,明确,简单.
作者介绍：
朱亚邦,男,江苏省泗阳人,中学高级教师,数学特级教师,系省市数学学会会员,多家刊物通讯员,在《中学数学杂志》等刊物上发表近200余篇文章．