直线,方程,1道高考剖析几何题解法与拓展

【】直线与椭圆相交是高考常考题型，求解中需转化的思想，将直线与曲线联立方程，用二次方程来求解。
【词】直线方程；圆锥曲线；椭圆
直线与圆锥曲线理由是高考的热点，高考的难点，题目灵活多变，但解题思路却大同小异。在解题中，把直线方程与圆锥曲线所联立的方程组转化成一元二次方程，然后求解。下面以2011年陕西高考理科17题为例，对圆锥曲线理由探究和拓展。
原题 （理科第17题）如图1：设P是圆x2+y2=25上的动点，点 D是P 在 x轴上的投影， M为PD 上一点，且 ｜MD｜=45 ｜PD｜。


图1
（Ⅰ） 当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程；
（Ⅱ） 求过点 (3,0)且斜率为 45 的直线被 C所截线段的长度。
【浅析】本题是一道圆锥曲线与直线的综合理由，是圆锥曲线的常见题型，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想。解题时过已知条件求曲线的轨迹方程，然后再求出的曲线与已知直线相交，解答题目所问的理由。
【解法】 （Ⅰ） 设点 M的坐标为 (x,y)， P的坐标为 (xP,yP)
由已知条件 ｜MD｜=45 ｜PD｜得： xP=x
yP=54 y
∵ 点 P在圆上
∴ x2+54 y 2=25 即： C的方程为：x225 +y216=1
（Ⅱ） 过点 (3,0)且斜率为 45 的直线方程为： y=45 (x-3)
设直线与 C的交点为 A(x1,y1)，B(x2,y2)
将直线方程y=45 (x-3) 代入 C的方程得：
x225 +(x-3)216=1 即： x2-3x-8=0
∴ x1=3-412x2=3+412
∴ 线段 AB的长度为：
｜AB｜=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+1625)(x1-x2)2=4125×41=415
【另解】：第（Ⅰ）问如上；
（Ⅱ） 设直线与曲线 C的交点为： A(x1,y1),B(x2,y2)
过点 (3,0)且直线斜率为 45 的直线方程为：y=45 (x-3)
将直线与曲线联立方程： y=45 (x-3)
x225 +y216=1
得 ： x2-3x-8=0
∴ x1+x2=3x1·x2=-8
由弦长公式得： ｜AB｜=(1+k2)+［(x1+x2)2-4x1x2］=(1+1625)(9+32)=415
拓展 如图2：设P是圆 x2+y2=25上的动点，点 D是 P在x 轴上的投影， M为PD 上一点，且 ｜MD｜=45 ｜PD｜。
（Ⅰ） 当 P在圆上运动时，求点M 的轨迹 C的方程；


图2
（Ⅱ）有着过点 (3,0)的直线 ｌ与曲线 C交与不同的两点 A，B,使弦 ｜AB｜的长为 415，若有着求出这条直线；若不有着，请理由。
【浅析】含参数理由的讨论是高考的热点，难点，考查学生对知识掌握的全面，是思维量和运算量都比的题。
【解法】：第（Ⅰ）问如上；
（Ⅱ）设直线 的斜率为 ｋ，
（1） ｋ不有着时，直线为： x=3
直线x=3 与曲线 C的交点为： A(3,165)， B(3,-165)
∴ ｜AB｜=｜165-(-165)｜=325与已知弦长不符
∴ ｋ不有着不条件；
（2） ｋ有着时，设直线方程为： y=ｋ(x-3)
设直线与曲线C 的交点为： A(x1,y1)， B(x2,y2)
将直线与曲线联立方程： y=ｋ(x-3)
x225 +y216=1
得 ： (16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0
∴ x1+x2=150k216+25k2x1 ·x2=225k2-40016+25k2
由弦长公式得： ｜AB｜=(1+k2)+［(x1+x2)2-4x1x2］
=(1+k2)+［(150k216+25k2)2-4225k2-40016+25k2］
=160(1+k2)16+25k2=415
整理得：k2=114225 ∴ k= ±45
∴ 有着直线 ｌ，其方程为： y=±45(x-3)

文献
［1］ 普通高中课程标准实验教科书，数学（选修2-1）
［2］ 高中数学教与学，2011年第2期