数列,“简中求道”之举例论证相关
更新时间：2024-02-11
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“举个例子，验证的正确性；举个反例，证明的不成立”，数学不足解决时常用的策略.，举个例子，似乎是“简单”的事，操作却经常会遇到麻烦，为何举？举？怎样举？这要面对的不足.拟的案例，以“简”的视角，探讨的数学之道.
解指数函数f(x)=ax (a>0, a≠1, a是常数)的图象恒过定点(0, 1)，而点(0, 1)在抛物线y=－x2+2的内部，所以两图象有公共点．
1
本题的解答简单明了，找了特殊的定点(0, 1)例子，可谓一举成功.将抛物线的方程换成y=－x2+ax+2，抛物线恒过定点(0, 2)，且开口向下，也只要举论文范文两个特殊点，不足就迎刃而解了：两图象也有公共点．
2
在举例时十分钟爱“定点”，是“定点”本身简单，，举特殊的定点完成解题，了“简”的对策：“以动”.平时常说的“以不变应万变”
，它在数学中有精彩的体现．
例2 判断函数f(x)=2x+21－x的奇偶性．
解f(1)=3， f(－1)=45，所以f(1)≠f(－1)， －f(1)≠f(－1)，所以f(x)是非奇非偶函数．
1
本题举了个“反例”，不足就解决了.“全称命题”的否定是“有着性命题”，对于任意性有关不足的否定，“反例”有奇效，难就难在如何找到反例，这平时能经常性地带着“想法”试试．
2
有些例子还是比较难举的，想法.，有着正数x，使得x3－200x2+10000x－1<0成立，请说明理由.解题之初，如果你有这样的“想法”：因为不等式左边的常数项为－1，它是负数，如果找到了一个正数使x3－200x2+10000x=0，问题不就解决了吗？事实上x3－200x2+10000x=x(x－100)2，取x=100即可.寻找特例的还有方法，例如可以借助导数先研究其单调性，即令f(x)=x3－400x2+10000x－1，则f′(x)=3x2－400x+10000=(x－100)(3x－100)．因为x∈1003,100时，f′(x)100时，f′(x)>0，所以f(x)在x=100处极小值，以而自然生成“找特殊值x=100”的想法．
解四种站法：甲乙丙丁，甲乙丁丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙．
“穷举法”是解决排列、组合运用题和概率运用题的常见办法，策略要求的规律将结果个列出来，思路简单，结果一目了然.的规律既避开与遗漏，也便于核对．
例4 等比数列{an}，其项数为3，公比q≠1，若数列的任都在集合x2012x∈Z, x∈Z中，写出这样的数列．
解2012=22×503，所以公比只可能是±2， －1， ±12，列举如下：
(1) 公比为2和12的数列有：503， 2×503， 22×503； 22×503， 2×503， 503；
4， 2， 1； 1， 2， 4.
(2) 公比为－2和－12的数列有：－503， 2×503， －22×503； －22×503， 2×503， －503； 503， －2×503， 22×503； 22×503， －2×503， 503； －1， 2， －4； －4， 2， －1； 1， －2，4； 4， －2， 1.
(3) 公比为－1的数列：－503×22， 503×22， －503×22； 503×22， －503×22， 503×22； －503×2， 503×2， －503×2； 503×2， －503×2， 503×2；－503， 503， －503； 503， －503， 503； －4， 4，－4； 4， －4， 4； －2， 2，－2； 2， －2， 2； －1， 1， －1； 1， －1， 1．
共24个．
1
列举比数麻烦，在列举中，加深了对数列的认识，于提高探究不足的能力．
2
列举时，尽可能按线索分类，这样可避开不必要的与遗漏．本题公比的大小分类，将公比为2的数列反过来公比为12的数列，同样，公比为－2数列的反过来公比为－12的数列，所以它们放在同一类中.
解1在百位的数有：123， 132，共记2个数，同样，1在个位、十位上的数也2个.123＝100+20+3， 132＝100+30+2（﹡），所以，在求和时，百位上的数字1，计算的和为“2×100”；同样地，十位上的数字1，计算的和为“2×10”；个位上的数1，计算的和为2×1．总的结果为：(100+10+1)×2×1.
1， 2， 3是对称的，它们在不足“地位”相同，，只要列举数字1的情况，数字2， 3的情况与之相同.并且每个数都写成上面的（﹡）形式，将的三位数和为(100+10+1)×2(1+2+3)=1332．
1
个数不足，都具有的规律性，论文浅析个数的变化规律，并恰当地分类，能探讨的一类不足，只要探讨一类不足某不足，就能窥题全貌．
2
本题将每个数都写成上面的（﹡）形式，即：三位数，看成三个数的和.然后，对的和分类：“1在百位、十位、个位；2在百位、十位、个位；3在百位、十位、个位”，共计三大类、九小类.举例时只要探讨“1在百位”的情况，规律，推广，可谓事半功倍.
例6 （2011届天津卷改编）已知数列{an}、 {bn}的通项公式为：an=3n+6， bn=2n+7，将集合{x|x=an, n∈N}∪{x|x=bn, n∈N}元素以小到大依次排列，构成数列c1, c2, c3, …, cn, …．（1）求c1, c2, c3, c4；（2）求数列{cn}的通项公式．
解（1） “列举法”写出数列{an}的前几项：9， 12， 15， 18；数列{bn}的前几项：9, 11, 13, 15, 1
{bn}： 9,11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, …．
可数列{cn}：9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 31, …，其规律以全局看：以项起，“三个连续自然数后接数”，再在“三个连续自然数后接数”，这样循环往复.每的循环中：三个连续的自然数个数两两之间始终相差6；连续的自然数后接的数，两两之间也相差6，且比连续的自然数的数大2.
即：c1=b1=a1， c2=b2， c3=a2， c4=b3， c5=a3=b4， c6=b5， c7=a4， c8=b6， …．
b3k－2=3(3k－2)+7=6k+3=c2k－1， b3k-1=6k+5， a2k=6k+6，
b3k=6k+7，且6k+3<6k+5<6k+6<6k+7，
所以当k=1时，依次有b1=a1=c1， b2=c2， a2=c3， b3=c4， …．
所以cn=6k+3, n=4k－3,6k+5, n=4k－2,6k+6, n=4k－1,6k+7, n=4kk∈N．
1
本题（1）的求解，列举的，简单的列举，观察、浅析、猜想、验证的规律.
2
本题（2）的求解，是在观察的上，新数列具有象周期函数类似的性质，四个数一循环（三个连续的自然数接数）.每个循环中对应的数差为6，{an}的公差为3，所以在每个循环中有两个数；{bn}的公差为2，所以在每个循环中有3个数；两个数列有公共项，故每个循环四个数.所以，只要观察开始的两个循环，就能推出一般的情形.
总之，举例论证很“简单”，它是解题时首选的对策.事实上，不足的解决时是以简单处开始的，并且尽可能地走简捷的途径，直至解决不足，追求的．
一、 举个例子，以少胜多，一举获胜
例1 函数f(x)=ax (a>0, a≠1, a是常数)的图象与抛物线y=－x2+2有公共点？请理由．解指数函数f(x)=ax (a>0, a≠1, a是常数)的图象恒过定点(0, 1)，而点(0, 1)在抛物线y=－x2+2的内部，所以两图象有公共点．
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本题的解答简单明了，找了特殊的定点(0, 1)例子，可谓一举成功.将抛物线的方程换成y=－x2+ax+2，抛物线恒过定点(0, 2)，且开口向下，也只要举论文范文两个特殊点，不足就迎刃而解了：两图象也有公共点．
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在举例时十分钟爱“定点”，是“定点”本身简单，，举特殊的定点完成解题，了“简”的对策：“以动”.平时常说的“以不变应万变”
，它在数学中有精彩的体现．
例2 判断函数f(x)=2x+21－x的奇偶性．
解f(1)=3， f(－1)=45，所以f(1)≠f(－1)， －f(1)≠f(－1)，所以f(x)是非奇非偶函数．
1
本题举了个“反例”，不足就解决了.“全称命题”的否定是“有着性命题”，对于任意性有关不足的否定，“反例”有奇效，难就难在如何找到反例，这平时能经常性地带着“想法”试试．
2
有些例子还是比较难举的，想法.，有着正数x，使得x3－200x2+10000x－1<0成立，请说明理由.解题之初，如果你有这样的“想法”：因为不等式左边的常数项为－1，它是负数，如果找到了一个正数使x3－200x2+10000x=0，问题不就解决了吗？事实上x3－200x2+10000x=x(x－100)2，取x=100即可.寻找特例的还有方法，例如可以借助导数先研究其单调性，即令f(x)=x3－400x2+10000x－1，则f′(x)=3x2－400x+10000=(x－100)(3x－100)．因为x∈1003,100时，f′(x)100时，f′(x)>0，所以f(x)在x=100处极小值，以而自然生成“找特殊值x=100”的想法．
二、 穷尽全体，思路简单，一目了然
例3 甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲、乙两人站一起且甲在左边，丙、丁两人也站在一起，问有几种站法？解四种站法：甲乙丙丁，甲乙丁丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙．
“穷举法”是解决排列、组合运用题和概率运用题的常见办法，策略要求的规律将结果个列出来，思路简单，结果一目了然.的规律既避开与遗漏，也便于核对．
例4 等比数列{an}，其项数为3，公比q≠1，若数列的任都在集合x2012x∈Z, x∈Z中，写出这样的数列．
解2012=22×503，所以公比只可能是±2， －1， ±12，列举如下：
(1) 公比为2和12的数列有：503， 2×503， 22×503； 22×503， 2×503， 503；
4， 2， 1； 1， 2， 4.
(2) 公比为－2和－12的数列有：－503， 2×503， －22×503； －22×503， 2×503， －503； 503， －2×503， 22×503； 22×503， －2×503， 503； －1， 2， －4； －4， 2， －1； 1， －2，4； 4， －2， 1.
(3) 公比为－1的数列：－503×22， 503×22， －503×22； 503×22， －503×22， 503×22； －503×2， 503×2， －503×2； 503×2， －503×2， 503×2；－503， 503， －503； 503， －503， 503； －4， 4，－4； 4， －4， 4； －2， 2，－2； 2， －2， 2； －1， 1， －1； 1， －1， 1．
共24个．
1
列举比数麻烦，在列举中，加深了对数列的认识，于提高探究不足的能力．
2
列举时，尽可能按线索分类，这样可避开不必要的与遗漏．本题公比的大小分类，将公比为2的数列反过来公比为12的数列，同样，公比为－2数列的反过来公比为－12的数列，所以它们放在同一类中.
三、 列举，挖掘规律，事半功倍
例5 求由1， 2， 3组成的无数字的三位数的和．解1在百位的数有：123， 132，共记2个数，同样，1在个位、十位上的数也2个.123＝100+20+3， 132＝100+30+2（﹡），所以，在求和时，百位上的数字1，计算的和为“2×100”；同样地，十位上的数字1，计算的和为“2×10”；个位上的数1，计算的和为2×1．总的结果为：(100+10+1)×2×1.
1， 2， 3是对称的，它们在不足“地位”相同，，只要列举数字1的情况，数字2， 3的情况与之相同.并且每个数都写成上面的（﹡）形式，将的三位数和为(100+10+1)×2(1+2+3)=1332．
1
个数不足，都具有的规律性，论文浅析个数的变化规律，并恰当地分类，能探讨的一类不足，只要探讨一类不足某不足，就能窥题全貌．
2
本题将每个数都写成上面的（﹡）形式，即：三位数，看成三个数的和.然后，对的和分类：“1在百位、十位、个位；2在百位、十位、个位；3在百位、十位、个位”，共计三大类、九小类.举例时只要探讨“1在百位”的情况，规律，推广，可谓事半功倍.
例6 （2011届天津卷改编）已知数列{an}、 {bn}的通项公式为：an=3n+6， bn=2n+7，将集合{x|x=an, n∈N}∪{x|x=bn, n∈N}元素以小到大依次排列，构成数列c1, c2, c3, …, cn, …．（1）求c1, c2, c3, c4；（2）求数列{cn}的通项公式．
解（1） “列举法”写出数列{an}的前几项：9， 12， 15， 18；数列{bn}的前几项：9, 11, 13, 15, 1
7.：c1=9， c2=11， c3=12， c4=13.
(2) 两个数列等差数列，为了找出一般规律，再多列举些两个数列项，{an}：9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …；{bn}： 9,11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, …．
可数列{cn}：9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 31, …，其规律以全局看：以项起，“三个连续自然数后接数”，再在“三个连续自然数后接数”，这样循环往复.每的循环中：三个连续的自然数个数两两之间始终相差6；连续的自然数后接的数，两两之间也相差6，且比连续的自然数的数大2.
即：c1=b1=a1， c2=b2， c3=a2， c4=b3， c5=a3=b4， c6=b5， c7=a4， c8=b6， …．
b3k－2=3(3k－2)+7=6k+3=c2k－1， b3k-1=6k+5， a2k=6k+6，
b3k=6k+7，且6k+3<6k+5<6k+6<6k+7，
所以当k=1时，依次有b1=a1=c1， b2=c2， a2=c3， b3=c4， …．
所以cn=6k+3, n=4k－3,6k+5, n=4k－2,6k+6, n=4k－1,6k+7, n=4kk∈N．
1
本题（1）的求解，列举的，简单的列举，观察、浅析、猜想、验证的规律.
2
本题（2）的求解，是在观察的上，新数列具有象周期函数类似的性质，四个数一循环（三个连续的自然数接数）.每个循环中对应的数差为6，{an}的公差为3，所以在每个循环中有两个数；{bn}的公差为2，所以在每个循环中有3个数；两个数列有公共项，故每个循环四个数.所以，只要观察开始的两个循环，就能推出一般的情形.
总之，举例论证很“简单”，它是解题时首选的对策.事实上，不足的解决时是以简单处开始的，并且尽可能地走简捷的途径，直至解决不足，追求的．
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