折扣率函数,折扣引路,函数作纲,投影相伴,贯通三角

摘要：三角函数在教学中有太多的疑惑和不解，教师经常会“讲不通”. 教学实践，阐述了将初、高中三角函数定义更好的衔接的定义方式，即引入投影、折扣率等新鲜的模型，将函数定义了改善并且还阐述了认同改善的理由.
词：三角函数；困惑；折扣率；投影定义法
三角函数在高中数学中的地位与作用. ，学生深刻理解三角函数的尤为.在初中，定义了锐角三角函数.到高中，一般来说有“单位圆定义法”和“终边定义法”两种定义（苏教版用“终边定义法”引入三角函数，而人教版则用“单位圆定义法”引入三角函数）.教材中不管哪种定义，实践证明，教师在教学中有的疑惑和纠结.
背景
来自一线以教多年的教师（四位高中教师和二位初中教师）与数学教育专家张奠宙教授一起，对三角了有益的探讨与讨论.

1. 一线教师的困惑

偶伟国（苏州太仓高级中学）：在直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比值. 高中以锐角推广到任意角的三角函数，锐角放到象限，学生解释和理解，角推广到钝角到任意角就很难用“正弦是对边与斜边的比值”来和解释. 近日，听了一节《任意角三角函数》省级公开课，教师请学生先操作，再探究与讨论. 象限用类比的策略教学论文，终边上任意一点，两个三角形、比值不变性定义三角函数. 至于推广到任意角三角函数，探究出“所以然”. 只说是类比，那怎么类比呢？讲不通道不明，就一笔带过，弄得学生不明不白，一头雾水.

2.?摇 张奠宙教授谈三角

三角函数怎么教？三角函数的背景如何？对边比斜边的值是不变，是描述性理解，只要记住就行，但还要确认过.
（1）投影、折扣率与三角比
过去的办法来教，叫正弦？对边比斜边的比值. 东西将来有用处，怎样测量. 正弦的定义是怎么来的是不管的，知其然，不知其所以然. 将来慢慢地用到，才明白定义的作用.
三角函数与三角比理由，能折扣率理解三角比？是新鲜事，张景中院士来希望将此编入教材. 正弦、余弦原来折扣率，梯子放在墙上，它的投影的长与梯子长的比正弦. 角度一样，两个梯子平行，梯子长了它的的影子也长了，梯子短了它的影子也短了. 但它的折扣率是一样的，如都打了个八八折等，出比值的不变性. 是核心，是性理由.折扣率的重要量到高中的单位圆中正弦线、余弦线、正切线投影.画出三角函数图象，它的性质. 影子长度联系全局，它不光是生活的原型，在整体的数学上来看，它贯穿三角函数知识的全部. 以影子的长度来看，比值一样折扣率也一样，折扣率角度的变化而变化三角函数. 单位圆里斜边为1，所以投影折扣率，正弦线等于折扣率.
（2）三角比的现实生活原型
三角比在的教科书中生活原型. 折扣率生活原型，的有它的价值与作用小学数学教学论文. 与面积的联系理由，为面积公式为absinC，面积为会与sin连在一起？对它要有整体的认识. 直角三角形一歪的话，面积里面就出现sin. 边a上的高等于bsinC，b在边a的高线上的投影.
（3）以斯根普（R.Skemp）理解分类剖析三角
三角比是语言，本来正弦对边比斜边的比值. 正弦是名词，为了今后讲话方便起见，比值被单独赋予了名称. 讲正弦是同角有关的函数时，工具性理解分三类：类是记忆的，即记住知识，sinA对边比斜边的比值，记住就达到目的. 类是描述性的，原来的对边比斜边的比值，比值是不变的. 三角形的知识来解释比值的不变性. 类是确认性的，即你量一量线段的长度，算出比值确实是不变的，只要角度不变，随便你怎么放大，对边比斜边的值总是不变. 确认了就好了. 至于的理解，后面也有三层：一层是结构性的理解，对边比斜边，还有邻边比斜边，对边比邻边等共六个三角函数，结构. 结构建筑在三角形之上，三角形三角函数就出不来. 笼统地说三角函数是陡度，陡度是讲倾角或仰角就了. 三角函数要比陡度要更，三角函数有比值的理由. 层是性理解，它是怎么来的？原始是怎么定义的？当时是怎么想到的. 是这些？学生解题不. 层是思想策略教学论文的理解，三角比的价值将三角、代数、几何联系在了一起，它的形式化表达是怎么样的？将这些提炼成数学的思想策略教学论文，这样的理解是最高层次的.
改善
能把初中锐角三角函数高中任意角三角函数定义的铺垫？能否将高中任意角的“单位圆定义法”和“终边定义法”形成统一的定义？了的探讨.

1. 倡议初中引进投影

如图1，在Rt△ABC中，斜边AB在α的另一边上的投影为AC=ABcosα，在与AC垂直的直线上的投影为BC=AB sinα. 在锐角△ABC中，AB投影为AD与DB（如图2）. 在钝角△ABC中，α为钝角，AB投影为AD与DB（如图3）. 的是当AD在AC的反向延长线上时投影值为负数. 投影与射影不同，投影值为负数、正数和0.

2. 改善初中锐角三角函数定义

?摇?摇如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin∠A=.
改善为：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的斜边在直线BC上投影与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin∠A==折扣率.
三角比的现实生活原型为斜边在直线BC上投影的折扣率. 定义的是找出角的另一边和该边所在直线垂线上的投影，还要投影的正负性. 锐角在直角边上的投影能在反向延长线上，锐角三角函数的值为正.

3. “单位圆定义法”与“终边定义法”合并改善为“投影定义法”

在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》中，三角函数了如下定义（简称“单位圆定义法”）：
如图4，设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
图4
（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．
图5
改善为：如图5，设α是任意角，它的终边取一点P（x，y），令OP=r=1，那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
（2）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）.
：（1）y，x的几何作用小学数学教学论文是OP在铅垂方向、方向的投影.
（2）α的正弦是OP在铅垂方向投影对于OP的折扣率. 分子、分母扩大的倍数相折扣率不变，所以函数值与点P在终边上的位置无关.
（3）折扣率分母为1，“单位圆定义法”，此时P（cosα，sinα）. 折扣率分母为r，“终边定义法”，此时P（rcosα，rsinα）. 点P的横、纵坐标是OP在方向与铅垂方向的投影.
理由
用折扣率定义锐角三角函数和用投影定义任意角的三角函数有优点.

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1. 整合，彰显本性

“单位圆定义法” 中自变量与函数值之间的对应联系 ，有函数的“味道”.能简单、清楚三角函数最的性质——周期性. “终边定义法”在引入时的自然与和谐，然后特殊化为“单位圆定义法”，也受教师的青睐. 整合两种定义，合并成“投影定义法”. 更了两个定义的一致性. ，“投影定义法”既有“单位圆定义法”的直截了当、理解本质，又有“终边定义法”的逻辑严谨、便于教学. 如此整合，适应了认知规律，了初、高中教材的连贯性，彰显了编者与教者的智慧和匠心，了三角的本性.

2. 解决疑惑，便于理解

现有教材，教师的疑惑有三个：①“单位圆定义法”中，交点是特殊的，缺乏一般性，不数学定义的要求. ②“单位圆定义法”和“终边定义法”不利于解释将锐角三角函数推广到任意角三角函数的因果联系. ③“单位圆定义法”不利于解题. 如在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a，4a），求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便. 在“求的正弦、余弦和正切值”时，用“终边定义法”方便了，用“单位圆定义法”就有优势.
形成一般遵循：“历史进展、本质、认知规律、便于运用”的原则，，“投影定义法”定义任意角三角函数是的. 如锐角三角函数推广到任意角三角函数，引进投影，投影取正、负、0，锐角推广到任意角三角函数显得和谐、自然、易懂. 这样就能，突破难点，解决疑惑.

3. 构建知识，凸显思想

“投影定义法”于构建任意角的三角函数的知识系统. 自变量α与函数值x， y（x轴上的投影与y轴上的投影）的作用小学数学教学论文非常直观且，三角函数线与定义有了联系，克服了教学上的难点. ，使能方便地数形的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的联系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等.
还这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应联系：把实数轴想象成一条细线. 三角函数定义中取OP=1，P在单位圆运动时，正弦值是OP在y轴上得投影，且投影y的变化范围为［-1，1］线段上伸缩，P的坐标为（cosα，sinα）. 取OP=r，P的坐标为（rcosα，rsinα）与半径为r的圆的参数方程x=rcosα，y=rsinα（α为参数）联.

4. 历史，找回原型

三角函数进展史，任意角的三角函数是因探讨圆周运动的而产生的，曾被称为“圆函数”. 用线段的比来定义三角函数，是欧拉在《无穷小浅析引论》一书中首次给出的. 在欧拉，探讨三角函数大都在确定半径的圆内的.所以，“投影定义法”能更真实地三角函数的进展进程. 又能与时俱进地进展. 对于锐角三角函数定义，张景中院士：边长为1的菱形它的面积就等于sinA. sinA是对于边长为1的正方形压扁成菱形的折扣率.三角形的面积为两边相乘，而要乘以高，它矮了，所以要乘以一边上的折扣. 直角三角形两个直角边相乘就好，一弯的话能这样做，相差折扣. 打折扣，打多少？这边上的高（投影）. 初平面几何中三角形的高与正弦有关，其本质了投影与面积的联系.

5. 投影相伴，贯通三角

“投影定义法”使三角函数的数形联系更，为后面讨论三角函数的性质和图象奠定了很好的直观. 如此，这义还能为“两角和与差的三角函数”的学习方便，和、差公式实际上是“圆的旋转对称性”的剖析表述，和、差化积公式圆的反射对称性的剖析表述.
另外，向量数量积中（如图4），b在a方向上的投影为OP=bcosθ=∈R（OP是射影），所以a·b的几何作用小学数学教学论文是a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积. 再如，S△=acsinB=bcsinA，即a和b在边c垂线上的投影与c的积乘以三角形的面积.在解三角形中，已知二边和一边的对角会产生一解、二解和无解理由，其本质对投影与一边的大小讨论.总之，在学习三角时，只要脑子中有投影，内容就好学易懂了.
三角函数教学是困惑多年的心结. 和一线教师一样，有太多的疑惑和不解. 在处理教材时，补充“投影定义法”来学生理解三角函数知识，多年实践证明教学效果良好. 学生死记硬背，在弄清知识的来龙去脉后的上形成了知识系统. 当然，“投影定义法”在教学实践中不断地完善，让一尝试和探讨吧！

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