小题题意,2012年高考广东文科数学模拟试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两.满分150分.考试时间120分钟.
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，是题目要求的.
1. 复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点象限,则实数m的取值范围是（ ）
A.(0,1) B.(1,2) C.(■,1)D.(■,1)

2. 已知集合Ａ=x｜y=■，B=x｜y=■，则Ａ∩B=（ ）

A.(■,1)B.(1,5)C.(5,+∞)D.(1,+∞)
3. 在某次测验中，有6位同学的总成绩的平均为501分．用xn表示编号为n(n=1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
则这6位同学总成绩的标准差s为（ ）
A. ■ B. 4 C. 15 D. 2
4. 已知■=3，■=4，且■与■不共线，则“k=■”是“向量■+k■与■-k■垂直”的（ ）
A. 不必要条件 B. 必要不条件
C. 充要条件D. 既不也不必要条件
5. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，q≠1，a２,a8,a5成等差数列，则下列哪三项成等差数列（ ）
A. S２,S8,S5B. S3,S9,S6C. S4,S9,S5D. S3,S8,S5

6. 已知几何体的三视图，则此几何体的表面积（ ）

Ａ． ■Ｂ． ■
Ｃ． ■Ｄ． ■
7. 定义在[-2，2]上的函数f(x)f′(x)=2x+sinx，且f(0)=-1，若f(1-m)-f(m)<0，则实数m的取值范围是（ ）
A. [-2,-■)B. (-2,-■]
C. (■,2] D.[■,2)
8. 已知平面区域?赘={(x,y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，平面区域M=(x,y)｜1≤x+y≤3,-1≤x-y≤1,，若向区域?赘内随机抛掷一点P,则点P落在平面区域M内的概率为（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
9. 日常生活饮用水通常是经过净化的，水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%的所需费用（单位：元）为c(x)=■(802.84元/吨,则a的值为（ ） A. 84 B. 88 C. 90 D. 95
10. 已知双曲线■-■=1的离心率为■，它的两个焦点为F1,F2，P为双曲线右支上一点，且∠F1PF2=60°，△F1PF2的面积为9■，则双曲线的方程为（ ）
A. ■-■=1 B. ■-■=1
C. ■-■=1 D. ■-■=1
第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题横线上.

(一）11-13为必做题
11. 某多媒体电子白板的采购商指导价为每台12000元，若一次采购数量达到量，则享受折扣. 图1为某位采购商折扣情况设计的算法程序框图，若输出的S=864000元，则这位采购商一次
采购了该电子白板
台.
12. 已知关于x的方程a(x+1)2=x+7(a∈N*)至少有整数解，则a的最大值为 .
1

3. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22=1+3 32=1+3+5
42=1+3+5+7,
23=3+5 33=7+9+11
43=13+15+17+19
上述分解规律，则52=1+3+5+7+9，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为.

(二)选做题（以两道题中选做一题，两题都以题的结果记分）

14.（几何证明选讲选做题）如图2所示，割线PAB与圆O相交于A,B两点，PC为圆O的切线，圆O的半径为10，D为■弧的中点，OD交AB于点E，PA=4，sin∠PBO=■，则PC的长度为 .
15.（坐标系与参数方程选做题）曲线C1:x=t，y=t-1（t∈R）与曲线C2:x=1+2cos?兹，y=2sin?兹（0≤?兹

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字、证明或演算.

16.（12分）第110届广交会期于2011年10月23日至27日在广州举行，某大学外语学院拟选拔4名志愿者参加接待工作，经过初步选定， 4名学，2名女同学共6名同学候选人，每位侯选人当选志愿者的机会是相同的.
(1)求选拔的4名志愿者中恰有1名女同学的概率；
(2)求选拔的4名志愿者中至少有3名学的概率.
17 （12分）已知函数f(x)=sin(x+?渍)(■（1）求f(x)的剖析式与最小正周期；
（2）已知?琢，?茁∈0,■，且f(?琢)＝■，f(?茁)＝■，求f(2?琢-?茁)的值．
18.（14分）如图3，AB是圆O的直径，点C是圆弧■的三等分点，DB∥EA，点F是AO的中点，AC=
AE=■BD=2，DC=2■，DF=5，
（1）证明：DE⊥平面CFE；
（2）求多面体ACBDE的体积.
19.（14分）已知正项数列{an}的前n项和Sn4Sn=2an+a2n(n∈N*).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=lnan，有着k(k≥2,k∈N*)，使得bk、bk+

1、bk+2成等比数列．若有着，求出条件的k值；若不有着，请理由．

20（14分）已知抛物线y2=2px经过点M(2,-2■)，斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F且与抛物线相交于A,B两点，椭圆■+■=1的右焦点恰为抛物线的焦点，离心率为■.
（1）试求抛物线与椭圆的方程；
（2）求出AB的值；
（3）若P(x,y)为椭圆上动点，N为左顶点，求■·■的最值.
2

1. （14分）设函数f(x)=ex(x2-ax+1)(a>0)，

（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f（x）≥（a2-■a+■）ea-1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，是题目要求的.
1. m(3+i)-(2+i)=3m+mi-2-i=(3m-2)+(m-2)i，复数对应的点在象限，则有3m-2>0，m-1<0，解得■2. x-4≥0，x-5≠0，得4≤x5，即A=[4,5)∪(5,+∞)；3x-2>0，3x-2≠1，解得■
1[3]

19. （1）解：当n=1时，4S1=2a1+a12，即a12-2a1=0，解得a1=2，a1=0（不合题意舍去）；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=■an-■an-1+■a2n-■a2n-1，
整理得■（an+an-1）=■（an+an-1）（an-an-1）.
由题意得an>0，故有an-an-1=2，即数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*）．
（2）假设有着k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列，则bkbk+2=b2k+1．bn=lnan=ln2n（n≥2），
所以bkbk+2=ln2k·ln2（k+2）<■■=
■■<■■=ln2（k+1）2=b2k+1，
这与bkbk+2=b2k+1矛盾．
故不有着k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+

1、bk+2成等比数列．

20解：抛物线y2=2px经过点Ｍ（2，－２■），故（－２■）2=4p，解得p=2.
所以抛物线的方程为y2=4x，其焦点为F（1，0），
即椭圆的右焦点为F（1，0），得c=1，又离心率为■，所以a=2，b2=4-1=3，故椭圆方程为■+■=1.
（2）解法1：依题意可得直线方程为l：y=x-1，由y=x-1，y2=4x，可得（x-1）2=4x，即x2-6x+1=0，x=■=■=3±2■，所以y=■=■=2±2■，即交点为A（3＋2■，２＋2■），
B（3－2■，２－2■），故ＡＢ＝
■
＝■＝８.
解法2：抛物线的准线为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B两点到x=-1的距离为dA，dB，由抛物线的定义可得ＡＦ＝dA＝x1＋１，ＢＦ＝dＢ＝x２＋１，故ＡB=ＡＦ+BＦ=x1+x2+2.
依题意可得直线方程为l : y=x-1，由y=x-1，y2=4x，可得(x-1)2=4x，即x2-6x+1=0,所以x1+x2=6，ＡB=x1+x2+2=6+2=8.
（3）N(-2,0),■=(-2-x,-y) ，■=(1-x,-y),■·■=(-2-x)(1-x)+y2=x2+x-2+y2(-2≤x≤2).
又y2=3-■x2，故■·■=x2+x-2+3-■x2=■x2+x+1=(■+1)2，所以当x=-2时，■·■最小值0；当x=2时，■·■最大值4.
21. 解：（1）f'(x)=ex(x2-ax+1)+ex(2x-a)=ex［x2+(2-a)x+1-a］=ex(x+1-a)(x+1).
由f ′(x)=0,可得x=a-1或x=-

1.a＞0，故a-1＞-

由f ′(x)＞0可解得x＞a-1或x＜-1，由f ′(x)＜0可解得-1＜x＜a-1,
故当a＞0时，函数的单调增区间是(-∞,-1),(a-1,+∞)；减区间是(-1,a-1).
（2）当a＞0时，若f（x）≥(a2-■a+■)e2-a对任意x∈R恒成立等价于f(x)min≥(a2-■a+■)ea-1, 只要求出f(x)的最小值即可.
由(1)可知a＞0时,函数f(x)在x=a-1上极小值,即最小值为f(a-1)=ea-1(2－a)，故ea-1(2-a)≥(a2-■a+■)ea-1，整理得a2-■a+■≤0，解得■≤a≤1，所以实数a的取值范围为［■,1］.
(本试题由广东省五华县五华中学黄伟军老师拟制)
责任编校 徐国坚

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