浅议圆锥曲线利用圆锥曲线定义解题

更新时间:2023-12-08 点赞:26277 浏览:119801 作者:用户投稿原创标记本站原创

考查平面解析几何的题目中,圆锥曲线的题目占重要位置,重点考查椭圆、双曲线、抛物线的相关内容.其中利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题,能够考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用情况,所以在高考中出现的可能性比较大,并且有些题目用定义解题,步骤也会简化.
在学习圆锥曲线中,首先要抓住定义,只有真正理解和掌握了定义,才能找到解题思路,避免走入死胡同.

一、选择题中定义的利用

例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是().
解 由条件知,|PF1|+|PF2|=26,|PF1|-|PF2|=23(不妨设|PF1|>|PF2|),
∴|PF1|=6+3,|PF2|=6-3.
又 |F1F2|=4,∴cos∠F1PF2=13.
答案 A.
分析 直接计算|PF1|,|PF2|,思路混乱,而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义,解题过程会大大简化.
例2 F1,F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹为().
A圆
B椭圆
C双曲线
D抛物线
解 延长F2P交F1Q的延长线于M,得|F1Q|+|F2Q|=2a,|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为
(x0+c)2+y20=4a2.①
设P点坐标为(x,y),∵P为F2M中点,
∴x=c+x02,y=0+y02,x0=2x-c,y0=2y.
代入①,得(2x-c+c)2+(2y)2=4a2,∴x2+y2=a2.
分析 仔细作图观察,利用椭圆定义及角平分线,难题就不难了.

二、填空题中定义的利用

例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.
解 设待求点的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得x0+3=9,解得x0=

6.代入抛物线方程得y0=±62,所以满足条件的点为(6,-62),(6,62).

答案 (6,-62),(6,62).
分析 利用抛物线的定义,转化条件,可以减少运算量.
例4 双曲线的虚轴长为4,离心率e=62,F1,F2分别是它的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|=.
解 ∵|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a.
又 ∵2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AF1|+|BF1|=|AB|,
∴2|AB|-|AB|=4a,|AB|=4a,而2b=4,ca=62,c2=a2+b2,
∴|AB|=82.
分析 此题两次应用双曲线的定义,步骤清楚简单,何乐而不为.

三、解答题中定义的利用

例5 设点F(2,0),动点P到y轴的距离为d,求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.
解 由题意,得|PF|=2+d.
当P在y轴右侧时,为|PF|=x+2,
∴点P在抛物线y2=8x上.
当P在y轴左侧时,|PF|=2-x,
有y=0(x<0),
所求轨迹方程为y2=8x(x≥0)和y=0(x<0).
变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时过点(3,0),求动圆圆心M的轨迹方程.
解 由已知,得(x+3)2+y2=4.
设圆心为A,A点坐标为(-3,0),B(3,0),动圆半径为R,
得|MB|=R,|MA|=R+2.
因此|MA|-|MB|=2<|AB|=6.
故M点轨迹为双曲线的右支,且2a=2,2c=6,
即a=1,c=3,b=22.
因此其方程为x2-y28=1(x≥1).
例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的,从这两道题可以深深体会到定义的重要性.
例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(-4,0),F2(4,0),并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,求椭圆与双曲线交点的轨迹.
解 设椭圆与双曲线的交源于:毕业设计论文模板www.618jyw.com
点P(x,y),得
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.
即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.
将点P(x,y)代入,得
(x+5)2+y2=9或(x-5)2+y2=9.
故所求轨迹为圆心在(5,0),半径为3的圆,除去(2,0)和(8,0)两点;或圆心在(-5,0),半径为3的圆,除去(-2,0)和(-8,0)两点.
分析 利用圆锥曲线的定义,充分挖掘几何条件来列方程往往可以使过程变得简洁.
总之,圆锥曲线的定义,始终是高考的重点,学生学习的要点,解题的依据.
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