简析几何几何变换在解最值理由中运用大专

更新时间:2023-12-27 点赞:9379 浏览:34784 作者:用户投稿原创标记本站原创

最值问题是初中数学的重要内容之一,代数和几何都涉及最值问题,贯穿初中数学课程内容的始终,具有很强的综合性,正是如此,中考数学命题者对此“情有独钟”,每年的中考数学试题中都有该类问题的身影,而且往往出现在最后的压轴题中,该类最值问题通常与几何变换、函数等方面的知识进行综合,问题的设计上具有较强的灵活性,问题的形式多、背景复杂、变化不断,具有一定的难度。几何变换在处理最值问题中方法独特,具有很强的实用性。
本文笔者就通过几道典型例题的剖析,说明如何通过几何变换将复杂的的最值问题转化为常见的基本问题进行有效处理。

一、对称变换是解最值问题的常用手段

通过对点的对称变换可以达到线段长度不变,线段位置改变的效果,从而将复杂最值问题简单化。
图1例1如图1,直线AD:y=3123x-3123+2。DB:x=1+3和AC:y=2相交,点P在直线AD上可以自由移动,求动点P到直线AD的垂直距离与线段PD之和的最小值。
解析:由已知条件易得A(1,2)、D(1+3,3),构造一个点B与点D关于直线AC对称,即B(1+3,1),即PD=PB。作BG⊥AD,根据“垂直线段最短”可知线段BG的长度就是所要求距离之和的最小值。BG与AC的交点即为使得两个距离之和最小的点P.由△ABD的面积关系得:1122·AD·BG=1122·BD·AM。
∴BG=3,即题意所要求的最小值为3。
点评:本题中巧妙地利用点D的对称点B,抓住“两点之间线段最短”的规律,将“折线”变成“直线”,从而得出最小值。

二、平移变换是解最值问题重要手段

图2通过平移变换实现了线段位置的变换,保持了变化前后的线段方向、大小不变的特点;然后通过连接点形成新的简易的几何图形。
例2如图2,在一条相互平行河岸两侧有A和B两点,某工程队想造一座桥MN,使得A到B的路径最短,该工程队建造桥的位置在何处?
解析:过点B作BB′⊥l2,使得BB′与河宽相等,连接AB′交l1于点M,过M作MN⊥l1交l2于点N,MN即为所求位置。
点评:本题中由于桥与河垂直且长度是定值,两点之间线段最短的特点,将BN进行平移成B′M,满足A、M、B′三点在一直线上,即AM+ B′M最小,则AM+ MN+BN最小。

三、旋转变换是解最值难题的手段之一

图3旋转变换是将一个图形在不改变原来形状和特点的情况下,绕一个固定点进行一些特殊角度的旋转,改变原有的位置,从而成为一个有利于处理问题的新图形。
例3如图3,E是正方形ABCD内一个可以自由移动的点,若EA+EB+EC的最小值为2+6,求正方形的边长。
图4解析:如图4,连接AC,将△AEC绕点C顺时针旋转60°成为△GFC,连接EF、BG、AG,可知△EFC、△AGC都是等边三角形,则EF=CE,又FG=AE,所以AE+BE+CE = BE+EF+FG。则EA+EB+EC的最小值为线段BG值,设正方形边长为a,则BO=CO=2122a,GC=2a,GO=6a122,即BG=BO+GO=(2122+6122)a,则a=2。
点评:本题中通过△AEC的旋转将所研究的三条线段拆分开来,然后通过几何关系又合并都到一条直线上,这样达到三条线段之和的最值转化成了两个定点之间的距离。本题考查了学生对简易的几何图形的处理能力。
上述三种变换都是保形变换,即保持图形形状和大小在转换前后不变,而只是位置发生变化的特点,这也是摘自:毕业论文的格式www.618jyw.com
几何变换的基础。通过合适的几何变换,将看似难以处理的几何最值问题转化成简易的、方便处理的新图形。变换的位置是解决问题的关键之处和突破口。当然,在解最值问题的过程中,由于数学最值问题是千变万化的,所以几种几何变换相结合同时应用才能完美解决数学的最值问题。在教学中,教师应要求学生用运动的观点看几何图形,从而渗透几何变换的思想,达到润物细无声的效果。
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