探究解数运用物理策略解数学题

【摘 要】 运用数学方法解决物理题，是我们常用的方法，但也可运用物理方法来解决数学问题，在此以一些实例来表述这些过程，使物理与数学融洽的配合起来，下面以某些实例来说明这些问题。
【关键词】 求导 连续型 速度分量 瞬心 图像 物理意义 极值条件
今年湖北三月调考试卷中有这样一道题：已知B的正北方18km处物体B以24km/h的速度向正南行驶，A以16km/h的速度向正东行驶，求半小时后AB的距离对时间的变化率？因为考虑学生的学习背景（已经学过初步微积分），很多学生自然想到用求导的方法来解决问题，笔者将在以后的篇幅中专门陈述，现将这道题的正解写在下面，然后再分析求导法则的运用范围。先用物理方法来解。
解：以A所在位置为坐标原点，以南北向为y轴，以东西向为x轴，则半小时后AB之间的距离与运动情况如图所示：BAO的夹角为θ，vBA=vAcosθ-vBsinθ=■，vBA⊥=vAsinθL1=■=L1ω，vB=cosθ=L2■=L2ω，这样就可求出质心的运动规律，也可求出转动点瞬心的位置，很容易由几何关系得知：cosθ=■，sinθ=■；vBA=16×■-24×■=-1.6km/h。显然，我们可以认为质心一边做沿BA的运动，一边绕质心做转动。现用求导的方法求之：BA=■-■=■，当t=■时vBA=-1.6km/h，如果用BA=■-■=■，在t=0时，vBA=-1.6km/h
在这里我们只求了两者长度方向上的变化规律，并没有求出两者实质上还有绕某点（瞬心）垂直方向的转动规律。
例二：将一根轻绳长为l悬挂一小球从水平位置释放，求小球下落到最低点之前竖直方向的最大速度。
解：设下落到与水平方向成θ角时，竖直方向速度最大，由动能定理知mglsinθ=■mv2，vy=vcosθ，vy=■
这里涉及到f（x）=sinxcos2x的极大值问题 （x是锐角）。我们可以构造和为定值，积有最大值来求之，也可用求导求极值，我们也可以利用竖直方向合外力为0时速度最大求之。
mglsinθ=■mv2，T-mgcosθ=■，Tsinθ=mg，vy=vcosθ可极其简要的解出极值条件为sinθ=■，vy=■
例三：一只蚂蚁沿直线离开洞口的速度与距离成反比，已知在该直线的距洞口为a的地方的速度为va，求蚂蚁从该处沿直线爬到离洞口距离为b的时间。
解：■=v=■，k=a，解得t=■
我们还可以利用运动学的图像法来求之。如图画出x-■的图像，则面积为所求时间。
显然，梯形的面积t=■，这是用图像法解决积分的一种转换方式。
例四：小船过河问题（水速大于船速），过河最短距离（设河宽d，水速为v1，船速为v2）。
解：设船与水平方向成夹角θ，t=■，y=d，x=（v1-v2cosθ），s=■，用三角形知识可解得s=■d，还可以通过作图用矢量法则求解。以v1的终点为圆心，以v2的大小做半径画半圆如图，则连接起点与圆上任意一点的连线为合速度，合速度与水平方向夹角越大，则距离越短，显然当与圆相切时夹角最大。显然可用相似比来求出最值s=■d，实际上这是函数f（x）=■的极值一种求法。
通过以上实例，我们发现物理条摘自：学术论文网www.618jyw.com
件是解决数学条件极值的一种有效方法，并且可以建立模型来解决许多数学问题。我们通过这些互证方式，可以提高解题能力，并促进建模能力的提高，从而达到培养能力的效果。
参考文献
1 力学基础
2 理论力学