简论探究错题教学功能

摘 要：结合教学实际系统阐述错题的教学功能：教学设计，教学优化，教师发展，知识的内化整合，学习互动，学生发展；旨在挖掘错题的教学功能，指导教师的教和学生的学，使教师的教学、学生的学习更加有效。
关键词：错题；功能；探究
几乎所有的教师在日常教学中都会要求学生建立错题集，希望对提高学生的学习成绩有所帮助，很多高考状元在介绍学习经验的时候也常常提到建立错题集的方法。教师如果仅仅要求学生建立错题集，却忽视错题集的利用，那么教师教学的效率、学生学习的效率还是无法真正提高的。
很多专家学者和一线教师都注意到了这个问题。如，北京师范大学刘儒德教授首先提出错题管理这一概念，从学生层面对错题的利用进行阐述。许多权威杂志上也随处可见一线教师关于错题的经验总结，如，《从对错误的反思中体悟数学思想方法》等。这些都只是侧重于某一方面的，错题的利用应该包括教师的利用和学生的利用两个方面，我认为错题其实是有教学功能的，只是目前关于这一问题的探究很少。如果我们能探究清楚错题的教学功能究竟是什么，就会更加有方向、有重点、有系统地对错题加以利用，最大限度地发挥错题的积极作用，提高教学的有效性。
何为错题的教学功能？1999年版的《辞海》对其功能的解释是“事物或方法所发挥的有利作用”；凯洛夫的“教学”定义是“教学过程一方面包括教师的活动（教），同时也包括学生的活动（学）。教和学是同一过程的两个方面，彼此不可分割地联系着。”我认为错题的教学功能就是指错题对于教（教师的教）和学（学生的学）的有利作用。

一、错题对于教的功能

1.错题可促进教学设计

教学设计是根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点，将教学诸要素有序、优化地安排，形成教学方案的过程。错题是来源于学生学习活动的教学材料，是真正适合学生的题目。每次考试或作业后，学生总有一些错题，错题的背后总隐藏着学习过程中的某些漏洞，如何弥补这些漏洞，是我们需要解决的问题。在习题课或试卷讲评课中，教师可利用错题寻找学生的知识漏洞和思维漏洞，将学生的错题整理出来，在课堂上给体纠错，进行针对性的教学设计，查漏补缺。
例如，在函数概念的一轮复习时，我利用错题设计了以下题组：
案例1
（1）已知函数f（x）的定义域为-1，5，在同一直角坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为 。若函数y=f（x）的定义域未知，在同一直角坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数可能为 。抛物线一定是函数图象吗？
【设计意图：通过这些问题的解决让学生回顾函数的定义，或纠正学生对于函数定义的错误理解。】
（2）将函数y=sinx（0≤x≤2π）的图象绕原点逆时针方向旋转 θ（0≤x≤2π）角，得到曲线C。若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则满足条件的角θ的范围是（ ）
A.0，■
B.0，■∪■，■
C.0，■∪■，■∪■，2π
D.0，■∪■，2π
（3）函数f：1，2，3→1，2，3满足f（f（x））=f（x），则这样的函数个数共有（ ）
A.1个 B.4个 C.8个 D.10个
【设计意图：通过比较综合性的问题让学生进一步体会函数概念的考查，在高考中，并不一定是单独考查，可以和其他知识综合在一起考查。】

2.错题可促进教学优化

教师的最重要价值体现在课堂教学中，错题的有效利用，可对教学的有效性产生积极的作用，达到教学优化的目的。错题中有许多是经典好题，可以将学过的知识综合起来，教师可利用错题归纳解题方法，整理一题多解、多题一解的典型例子及变式题组，经过一题多解向学生展示常见问题的处理方法，或由多题一解体现一些形异质同问题的处理方法。
案例2：已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（0，3）若抛物线C与线段MN有两个不同的交点，求实数x的取值范围。
常见的问题是抛物线（圆锥曲线）与直线的位置关系，但此题做了一个小小的改编，将直线改成了线段。题干变化不大，但处理方法发生了很大的改变。
方法一：将抛物线方程与线段所在的直线方程联立，转化为方程-x2+mx-1=3-x，即x2-（m+1）x+4=0在x∈[0，3]上有两个不同的解。然后结合韦达定理找到两根x1、x2落在区间[0，3]上的充要条件x1+x2>0，且（x1-3）+（x2-3）≤0。
方法二：x2-（m+1）x+4=0在x∈[0，3]上有两个不同的解的问题也可转化为函数f（x）=x2-（m+1）x+4=0在x∈[0，3]上与x轴有两个不同交点的问题，采用一元二次方程根的分布去处理。
方法三：可将方程x2-（m+1）x+4=0化为x2+4=（m+1）x，将问题转化为函数y=x2+4与y=（m+1）x的图象在区间[0，3]上有两个不同的交点。虽然也是抛物线与直线的位置关系问题，但此时抛物线是固定的，直线的斜率是变动的，从函数图象的直观认识上其实容易多了。
方法四：将方程x2-（m+1）x+4=0先分离参数化为：（m+1）=x+■（x∈[0，3]）。这样问题就转化为直线y=（m+1）与函数y=x+■的图象在x∈[0，3]上有两个不同交点的问题。
以上不仅是一题多解的例子，而且也揭示了一类函数交点问题的处理方法，在以上问题的讲解之后，还可进一步将上述处理方法迁移到其他的问题中，如，将x2-（m+1）x+4=0在x∈[0，3]上有两个不同的解，求m的取值范围改为不等式x2-（m+1）x+4>0在x∈[0，3]上恒成立，求m的取值范围，这一不等式恒成立问题的处理也可类比上述四种方法。据此，教师可将上述问题设计成一个变式题组让学生训练。通过这种整理、探究、改编、迁移活动，教师与学生思维的深刻性和发散性得到很好的养育，教学优化才不至于成为一句空话。

3.错题可促进教师的发展

教师利用错题进行教学设计和教学优化的过程，实质上是再次解读教材、理解知识、梳理概念、明确重难点并探询解决方案的过程，有利于培养教师的教材分析能力；利用错题进行一题多解或多题一解的变式题组归纳整理则使教师对于相关数学问题的处理在深度和广度上有长足的进步。日积月累，教师可积累起丰富、优质、典型的教学素材，可运用在以后的课堂教学中，可整理成文发表，实现教学相长的良性循环。

二、错题对于学的功能

1.错题可促进知识的内化整合

内化是在思想观点上与他人的思想观点相一致，自己所认同的新的思想和自己原有的观点、信念结合在一起，构成一个统一的态度体系。这种态度是持久的，并且成为自己人格的一部分。错题反映了学生在学习过程中的知识与方法漏洞，学生通过对错题的再次回顾，可纠正知识掌握上的错误，反思蕴含在错题中的知识点和解决问题的方法及解题失败的经验教训，对以后的学习有积极的作用。这一过程实现了知识的内化与整合，对学习的有效性有明显的积极意义。
在上述案例2中，学生对错题进行再次的纠正、理解之后，会促进对函数概念的进一步理解，搞清楚函数概念所包含的本质内容，即为对应关系。

2.错题可促进学生学习的互动

由于基础不同，每位学生所建立的错题本也不同。通过学生与学生之间的交流、教师与学生之间的交流，学生一方面可锻炼自己的团队协作、与人相处的能力，另一方面也可使自己获得学识上的进步。曾经就有这样的学生与我交流某一题目的改编，我高度赞扬了他的这种探究精神。
案例3：已知平面向量■，若向量■满足■·■=0且 ■，则■的最大值为（ ）
A.■ B.■+1
C.■+1 D.■
这类问题一般可从向量的坐标运算和几何意义两方面考虑，但此题若用坐标法，涉及的变量较多难以求最值，故可采用向量的几何意义处理。课堂上我把解题过程讲解完后，有的学生提出两个问题：
（1）把■改成■，■后这个问题可不可以解？
（2）这类问题很多，第一次的模拟考试也有相关的问题，它有哪些方法可以处理？
　摘自：毕业论文翻译www.618jyw.com
　其中第二个问题我是打算在讲完这个问题以后，将别的相关问题展示出来后请学生思考解决的。现在学生在我没讲之前就已经想到了这个问题，说明学生对错题是经过思考、对比、体会的，这让我很欣慰。而第一个问题确实是我始料未及的，这位学生考虑得比我深刻多了。在师生的共同努力下，发现这个问题也是可以求解的，在解题过程中也补充了一些新的内容。通过这一师生的互动过程，大家都学习了新的知识经验，获得了意外的惊喜。

3.错题可促进学生的发展

学生建立错题本之后，通过教师对于如何利用错题的引导和示范后，掌握了一种有效的学习方法，这种方法对于学生一生的学习都是有益的。自此，学生获得了学习能力上的发展。万事开头难，虽然学生会感到一开始建立错题本比较费时，难以坚持，但当他们真正坚持下来的时候，当他们在学习上有所收获时，他们会获得成功的喜悦，自信心会得到极大的提升，这种喜悦与信心将伴随他们的一生，对他们的人生和事业都会产生正面的影响。
教师在平时的教学过程中，可从以上几个错题的教学功能入手对错题进行管理。如果我们能切切实实地利用好错题这一宝贵的教学资源，充分挖掘错题的教学功能指导教学，必将使我们的教学更有效，真正实现优质轻负的教学目标。
参考文献：
刘儒德，江涛，李云芳.高中生错题管理调查研究[J].心理发展与教育，2004（01）：54-58.
孙晓俊.从对错误的反思中体悟数学思想方法[J].中学数学杂志，2010（09）.
（作者单位 浙江省绍兴县越崎中学）