分析建模浅议在建模训练中培养学生数学语言解读能力

1.数学语言解读能力

数学史学家、教育学家克莱因曾指出：“数学的一个重要特征是它的符号语言.如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式.与日常讲话用的语言不同……数学语言是谨慎地、有意地而且经常是精心设计的.”
数学语言解读能力是数学基本功之一.教学过程中，学生的数学语言解读障碍主要有三类：识别转化障碍，即数学语言的进入障碍，尤指难以提取数学语言间接传递的信息和隐含条件.记忆存储障碍，即数学语言的保留障碍，它不仅仅指记录形式上的数学语言过程中的“遗忘”，还包括对已经记忆保留的数学语言进行处理，略去多余的信息，提炼出知识核心成分过程中发生的“疑惑”.组织表达障碍，即数学语言的输出障碍，分为口头和书面表达障碍，组织表达障碍与知识掌握的熟练程度、自然语言与数学语言的并联使用能力有关.

2.建模训练有助于培养数学语言解读能力

严格的过程演绎使数学内容成为形式化运动的产物.数学中的每一个概念，从本质上说都是嵌入在一些概念体系之中的，它从某基础概念中得来，又为建立新的概念作基础.解读数学语言就是要理解数学概念间的联系，实现认知结构的再组织.在前（低）一层次形式理解的基础上，去认识后（高）一层次形式.因此，数学语言解读通常要经历三个阶段：
（1）引入阶段：学习者通过对定理、定义、法则、公式的字面意义上的记忆，初步建立起层次结构的轮廓.此时，学生仅能通过背诵、对比和模仿进行识别判断.
（2）抽象理解阶段：从记忆到理解，从对运算、证明的形式操作进入分析推理，数学语言中层次形式的轮廓越来越清晰，最后由理解进化到概括.这时，学习者往往能概括出某一数学观念，概括出该层次形式活动的内容和规则.
（3）反省抽象理解阶段：通过对已有知识结构的反省，思考如何以前一层次形式为对象进行后一层次形式活动，从而搭建出具备通用性的结构.学习者要达到一定认知水平后才能自觉进入这一阶段，因此需要采取多种方法进行有意识的培养，使学习者完整地实现数学语言解读.
数学建模训练有助于培养数学语言解读能力.一方面，建模引导学生认识数学语言的精确性与真实世界的不确定性之间的矛盾，即通过有步骤、有计划的精确的分析计算得到的也可能依然是特定条件下的模拟近似解，了解这种数学思想，对中学生下一步学习高等数学和利用数学工具解决实际问题很有益处；另一方面，建模的过程必须依靠数学语言进行合理假定并在把模型“数学化”的过程中概括、抽取、保留有价值的信息，同时舍去次要的、甚至是干扰性的信息，起到在解读过程中削减“冗余度”的功能，也为到达反省抽象理解阶段创造必要条件.

3.案例分析

模型：有一个半径为10公里的圆形农场，种植某种谷物，总产量23万吨，收割后要运回位于农场中心的仓库，如果运费是每吨每公里2元，请估算总运费，并且说明怎样改善你的估计.
（Ⅰ）模型假设与分析：首先假设谷物在农场内是基本均匀分布的，这样由于总产量是23万吨，总面积为314平方公里，每平方公里的产量ρ约等于0.073万吨，亩产约为1千斤.其次假设仓库面积忽略不计，是个质点.最后考虑谷物是从哪些位置运回仓库的：由于农场是圆形，若假设谷物都是从圆心处运回仓库，显然不合理，因为这样根本不需要运；若假设谷物都是从农场最即半径10公里的圆周处运回仓库，如图1，显然也不合理，这样过高地估计了运费，因为大部分的谷物都是从半径10公里的圆形内部运回仓库的；如假设谷物是从半径5公里的圆周处运回仓库，经分析，发现误差很大：半径5公里的圆周将该农场切分成了两部分，一个是半径5公里的圆形农场（面积记为Sx），一个是内径5公里、外径10公里的圆环形农场（面积记为Sy），Sy是Sx的3倍，这样将造成估算的运费比实际运费低很多.
经进一步分析，如图2，可将圆形农场用四个同心圆分割成5个部分，分别是一个R1=2公里的圆形农场F1和四个内径ri（i=2，3，4，5）、外径Ri（i=2，3，4，5）的圆环形农场Fi（i=2，3，4，5）（内径ri=2（i-1）公里，外径Ri=2i公里（i=2，3，4，5）），圆环面积分别为Si（i=2，3，4，5）.同时也可以把圆形农场F1看作是内径r1=0公里、外径R1=2公里的圆环.
若假设F1内的谷物都是从圆心运回仓库，圆环形农场Fi内的谷物都是从内径处运回仓库，显然低估运费；若假设F1内的谷物从R1=2公里处运回仓库，圆环形农场Fi内谷物都是从外径处运回仓库，则估算又偏高.基于此，可以认为谷物是从半径为di的圆周处运回仓库（其中di=ri+Ri-ri2（i=1，2，3，4，5）），代入简化后di=2i-1（i=1，2，3，4，5），即F1内的谷物是从半径中点的圆周处运回仓库，圆环形论文下载中心{#GetFullDomain}
农场Fi内的谷物是从圆环中间的圆周处运回仓库.
图1图2
（Ⅱ）模型的建立与求解：在上面分析的基础上我们可以知道总运费C就是把农场分割成的五个部分的运费相加，而这五个部分的运费又分别等于它们的产量和到仓库的距离的乘积再乘以每吨每公里的运费，即C=2∑5i=1Si×ρ×di，Si=π（Ri2-ri2）（i=1，2，3，4，5）.
在这一结论下，我们可以发现：如果用更多的同心圆去分割农场，将农场分成更多的部分，会使得我们的估算更加准确，更接近实际的总运费.