探讨高考析高考几何，提一些深思

【摘要】2013年各省市数学文科高考中的立体几何考题具有以下特点：没有繁杂的逻辑推理，以体积度量为考查重点，空间向量不再是解决立体几何问题的“万金油”，动手操作成亮点.教学中就应该思考“如何处理知识掌握与提升能力的关系”、“如何处理综合方法与向量方法之间的关系”等问题.
【关键词】数学高考；立体几何
高考是对教育教学成果的一种检测与评价，反过来说，它也是对教与学的向导与指引.不可否认，虽然新课标中明确指出各章各节的教学目标和教学要求，但应该如何去把握“了解、理解、掌握”的“度”，或许只有靠老师自己去解读.而在这个过程中，最好的“参考书”就是高考，可以说它是解决老师们教学中的诸多疑惑的一条有力途径.因此，解析高考考题，对接下来的教学工作有着重要的意义.
立体几何是高中阶段数学课程的重点内容之一，它的教与学一直备受关注.针对于文科学生的立体几何教学老师们常常会提出一些疑问，我们不妨将视线聚焦在今年的各地文科立体几何考题上，对其略作分析，以期为一线教师的教学提供一些参考.

一、考题特点解析

1.没有繁杂的逻辑推理

今年文科立体几何试题大致可以分为两方面的考查：逻辑推理与度量计算.整体来说比较平稳，没有出现极易或极难的题目.大多省市均是将第一小问作为逻辑推理能力的考查，并集中在线面平行关系和线面垂直关系的证明上.处理线面平行，不外乎以线线平行和面面平行为踏板.纵观今年考题，可以说运用面面平行“一招”便可“制胜”.如新课标Ⅱ卷的第一小问，要使得BC1∥平面A1CD，最直接的想法应该是在平面A1CD内找出一条直线使其与BC1平行，而事实上，我们根据题中的已知条件和图形特征，作出一个过直线BC1且与平面A1CD平行的平面更加容易，其说理过程只需几步便可完成.同样的，山东卷的第一问、广东A卷的第一问、福建卷的第二问等诸多涉及线面垂直的考题，均可用此方法求解，并且思维方式简单，过程简洁.在垂直关系的考查中，虽然有的结论是落实在线线垂直或面面垂直上，但其中最实质性的环节还是无一例外地放在线面垂直关系上.如新课标Ⅰ卷的第一小问，结论需证AB⊥A1C，要验证异面直线的垂直关系，通常需将其中一条直线放入某个平面内.根据已知条件的提示，AB上的中线即为高线，∠BAA1=60°，如若放在一个三角形里，很容易构造出一个为90°的角.综上，取AB中点D，连接CD，A1D，这样A1C就放在平面A1CD中，且易证AB与该平面垂直，从而得出线线垂直.又如山东卷的第二问中，面面垂直的核心是线面垂直，位于平面GEF内的直线EF垂直于四棱锥的底面，该底面又与平面MNE平行，EF与平面MNE垂直，从而平面GEF与面MNE垂直.只要涉及垂直问题，紧抓线面垂直，便可横扫障碍.

2.以体积度量为考查重点

在以往的高考中，立体几何通常是用“求二面角”来提源于：论文大纲怎么写www.618jyw.com
升试题难度，从而为学生设置障碍的.但在今年的考题中，各省市均将体积度量放在最后一问作为考查重点.求二面角通常是让学生感到非常头疼的事，其中作出二面角的平面角为解题关键，这往往需要经验的积累和偶然一现的灵光，所需的技巧性较强.把题目条件稍作改动，解题方式或许就会发生很大的变化.学生面对这类题似乎比较恐惧，直到空间向量的出现，这个问题才有所缓解.今年各省市都像是商量好了的一般，避开了让学生头疼的二面角，齐刷刷地用体积计算来挑战立体几何的难度，这应该正是考虑到文科立体几何已没有空间向量作为辅助.求三棱柱、三棱锥的体积，重点在于找底面积和底面所对的高.新课标Ⅰ卷是将难点设在找“高”上，湖南卷将解题的关键放在异面直线所成角的使用上，四川卷、福建卷的考点则在于等积转化的思想意识上.虽然江西卷所求为点到直线的距离，但这类问题最经典的做法就是以体积为桥梁，利用等积转化的方法求高，从而达到求距离的目的.

3.空间向量不再是解决立体几何问题的“万金油”

空间向量集代数与几何于一身的特征，它的出现可以将立体几何中基本元素间的位置关系转化为数量关系，能够让需要推理证明的结论用数量运算来取代.为学生在处理空间角和距离等问题上，提供了新视角，增加了可操作性，并容易掌握和接受.空间向量在一定程度上能够降低立体几何的难度，在以往的高考立体几何试题中，多以正棱锥、正棱柱为载体，几乎所有题目都能用向量法解决.这或多或少会给老师传达一个信息：向量法是解决立体几何问题的“通法”，同时也会在教学中让学生产生一个观念：向量法就是“万能”法.今年的四川卷告诉我们：只有永恒的解题能力，没有不变的解题方法，向量法在很多地方都行之有效，但绝 不可在教学中神话其解题功能.虽然该题给出的是一个直棱柱，建立直角坐标系非常方便，但由于Q点具体位置不能确定，在写Q点坐标时会出现两个未知常数，为后面计算法向量以及点到平面的距离造成很大的困扰，非但没起到化抽象为具体、化繁为简的效果，反倒增加了计算量，增加了题目难度.对于该题，一旦发现锥体底面面积无法确定，会立马想到换底换高，只需思考方式稍作转化，解答本题也是轻而易举的.

4.动手操作成亮点

立体几何的研究通常是在直观感知的基础之上进行操作确认，在有了动手操作的前提下，一系列思辨论证、逻辑推理才有顺利进行的支撑.可见，动手操作是立体几何学习中非常重要的一环.新教材中，新增三视图、直观图的内容，让学生的思维自然活跃在空间与平面之间，很好地训练了他们的空间思维能力、想象能力.这个过程中，动手操作是关键.今年的考题，体现了对该能力的考查，也打破了立体几何试题的传统形象.比如福建卷就将三视图的考查融立体几何于一体，不再是简单地从备选答案中进行选择，而是真正地从立体图形中抽象出并作出平面图形，各边的长度及比例都必须严格考虑.类似的，在四川卷的第一问中，不仅仅拘泥于通常的平行、垂直关系的论证，而是要动手操作去找出满足条件的直线，在传统考法上强调动手操作，同时对空间想象、动手操作、思辨论证三大能力提出要求.

二、几点思考

纵观2013年数学文科高考中立体几何考题，难度均相当且较适中；忠实教材，回归课堂；重能力的考查而非表面形式的复杂，由此，立体几何的教学应该思考以下问题：

1.如何处理知识掌握与能力提升的关系

新教材中删除了以前常用常考的三垂线定理，直线与平面平行、垂直的判定定理的证明过程也未在文科生的教学范围内给出，对于文科生推理证明的要求降低了？没有了空间向量的立体几何，严格按照公理化方式推理说明，证明要求提高了？老师们有各自的见解.当老师们还在为不知道该把文科立体几何题目难度拓展到哪种程度而犯愁时，今年的高考题似乎让我们看到，学生能力的培养更值得我们关注.立体几何的确需要发展学生直观感知能力、操作确认能力、思辨论证能力和度量计算能力，但三视图、直观图空间思维能力的发展，建立在直观感知、动手操作基础上的合情推理能力，在解题时懂得正难则反、灵活转化的能力等，也是在教学中不能忽视的.在新课的教学中，在课外练习扩充时，就应该用是否是以培养学生的能力为目的来评价教师的教学.不要以为，让学生动手制作模型会浪费时间，这个过程让他们的思维空间空前释放，小组合作分工明确，动手操作乐趣横生，它所带来的效益可能是无法等值替换的.不要认为，让学生接触更多的题目，他们的解题能力就会源于：论文范例www.618jyw.com
更强.要教会他们的是方法，是思路，是解题策略.我想，一题多解是个不错的选择.

2.如何处理证明中的综合法与向量法之间的关系

空间向量为现代立体几何的发展有卓越贡献，它为解决立体几何问题打开了方便之门.新教材中，文科立体几何不涉及空间向量，无法用向量法求解，老师们该不该向学生进行补充呢？为此，我专门做了一个问卷调查，发现几乎所有的老师都认为空间向量是解决立体几何问题的有力工具，并有超过半数的老师会在教学中向文科学生补充空间向量知识.向量解题有其独特优势，但也不是万能的.有了向量法作支撑，就像是多了一道有力的保障，因此对其进行补充也不无道理.但要注意的是，不能“神化”空间向量的功能，它是一种手段，一种方法.我们要做的是让学生在遇到问题时，能够有效地选择较简便的方法来解答，而不是一味地认为向量法或是综合法更优越.这样才不会因为有了空间向量，使得立体几何教学变得本末倒置.
【参考文献】
甘文生.从高考命题看高中数学教学[J].教师博览科研版，2011（6）.
单墫. 评2011年江苏数学高考题[J].高中数学教与学，2011（9）.