浅议例题一道课本例题联想

摘 要： 许多学生害怕学数学，且答题不规范、思维不严密等，并形成恶性循环.究其根本原因，在于没有很好地掌握概念，把原有的知识结构体系与数学概念背景材料有力地结合起来.在解定值问题时，应立足概念本质.
关键词： 数学概念 概念本质 概念内涵 概念外延 数学思想与方法
在必修4§2.5.1中有这样一道题：在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能确定AR、RT、TC之间的关系吗？
　摘自：硕士论文答辩技巧www.618jyw.com
　利用信息技术工具（数形结合法）作图可以发现，实质上问题即为证明R、T为AC上的定点——三等分点，就是定值问题.教师在教学过程中应该强调平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题，而向量问题最终立足于本质概念的考查——平面向量基本定理.
问题1：在△ABC中，D为BC边上的中点，过D点作一直线，交AB、AC与点M、N，若求证：m+n是定值.
问题2：PQ过△ABC的重心G这两题与课本的例题类似，都是考查平面向量基本定理.在概念教学中，问题的设计应具有层次感，便于引导学生认识概念的本质，打好知识基础，形成基本技能，掌握好基本概念及学习方法.
高中数学的知识点不是一个个独立的个体，定值问题也不仅仅局限在向量，知识之间是相互关联且相互渗透的.向量在其他知识点中的渗透是较为常见的，如直线与圆锥曲线中结合向量，主要是利用向量概念的内涵，考查直线与圆锥曲线本质概念.
问题3：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1，过椭圆右焦点的直线F的直线交椭圆于A、B两点共线，
（1）求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；
（2）过点B（-1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=-4于点E，点B、E分的比分别为，求证.
问题3考查平面向量共线的概念本质，利用点斜式写出直线方程y=x-c，设，利用只设不求的数学思想方法，把直线方程代入曲线方程中，得到关于x的一元二次方程，从而得x，由向量共线可以得到a，b，c之间的关系，结合离心率的概念可求之.设M（x，y），利用M点在椭圆上，则满足椭圆的方程，以及条件，整体代换，通过化简可得的定值为1.
问题4考查了平面向量定比分点的概念本质，回归概念本质教学，返璞归真，在概念的应用中进一步体会其本质，达到深刻认识本质概念的目的，感受本质概念的内涵和外延.由M、N的对称性，，结合向量的条件，可求得椭圆方程为，直线方程可用点斜式表示，故要讨论斜率的存在性，下面解法同问题3.
在问题3和问题4的教学过程中，要时刻围绕着本原性问题，让学生了解问题背后的知识概念，以概念为突破口，进一步实践与探究，使学生的思维由单一思维向多向思维转变，从而达到解题目的.
数学概念凝结着数学家的思维，是认识事物的数学思想的概括，是数学思想的精华，是人类智慧的结晶.
圆锥曲线中的定值问题是数学学习的难点，而定值问题在数学知识结构体系中远不止这些，如不等式中出现的定值问题，解法较为灵活多变。学生对知识概念本质的认识和掌握，理解概念本质的程度因人而异，要求教师在教学时，驱动问题教学，如提出好的数学问题，提出本原性及触及数学概念本质的问题驱动教学.
问题5：在正方体AC中，在棱AB、AD、AA1上，各任取三点E、F、G，问△EFG的形状如何？
表面看起来是立体几何的问题，实际上在求解时结合向量垂直的概念本质，问题将变得简单化.数学的本质是概念，在概念的学习中，学生能形成正确的思维方式、方法，以及思维的迁移能力.问题五把立体几何中角的问题迁移到向量中角的问题，，由立体几何的概念本质可推理得，故可得到△EFG中∠E为锐角，同理可得另外两个角也是锐角，从而判定该三角形为锐角三角形.
教师通过对教材的“再创造”激发学生的学习动力，调动学生学习的积极性，使学生主动地参与到学习概念本质中，通过对数学知识的发现和探索，认识到数学概念本身的魅力，从而促进学生对概念本质的理解，提高数学素养，增强数学解题能力.
参考文献：
林燎.中学数学教学要注重数学本质的呈现[J].中学数学教与学，2009.12.
上海控江中学课题组.本原性问题驱动的数学教学实践研究[J].中学数学教与学，2009.10.
[3]马伟开.让学生掌握数学概念的途径[J].中学数学教与学，2009.6.