阐述论布鲁尔K思想及其对当代数学教育作用

布鲁尔的K（sociology of Mathematic Knowledge）思想是其SSK（sociology of scientific knowledge）思想的重要组成部分，其内涵在于指出并不有着独立于环境的所谓理性范式，即便数学知识具有很强的论述性和逻辑自恰性，也应该对它进行社会学浅析；社会力量对于最深奥、最抽象的数学领域也能够施加有力的影响，数学的威力就在于其中不可剔除的社会性成分。他以2+2=4为例，对其进行了具体的社会学浅析；在这之前，他首先予以明确。

一、对2＋2＝4进行社会学浅析具有可能性

“2+2=4这些术语的作用清澈如晶体，毫无弹性，以致命题只有单一的解释，其真实性丝毫不容反驳，千秋万世，显示着理性所固有的洞烛真伪的能力”，事实果然如此？
对此，知识社会学创始人卡尔·曼海姆（Karl Mannheim）明确指出，自然科学中质的方面所包含的因素或多或少与认知主体的世界观交织在一起，但是“它的可定量领域，在很大程度上可以超脱于探讨者的历史——社会视角。”比如数学的历史进展“在很大程度上决定于内在的因素。”因为数学知识有特殊的认识论地位，它与探讨者的历史社会观在很大程度上是脱离的，对它的探讨不受探讨者观念形态的影响，它是可以逃避思想批判的知识形式，无法对其进行社会学的浅析，因而需要以知识社会学的探讨视野中将其剔除。
布鲁尔否定曼海姆的这种观点，他认为数学知识并不具备社会学浅析的豁免权，因为我们无法在物理、化学等经验性知识和通常认为的包括数学、逻辑学在内的非经验性知识之间做出区分，更不能将不同的心智器官视为不同知识的产生源泉，比如说感觉经验器官产生关于经验事实的有条件的知识，而理性的器官则产生关于逻辑和数学必定性的真理。
布鲁尔以因果性、公平性、对称性等原则构成的纲领为论述平台，指出并不有着超文化的所谓的理性范式，对于数学知识也应该进行社会学浅析，以而将因果性指导原则推及到了传统上认为是自然科学知识中的硬核部分——数学领域，“我们至今所讨论的不足以及不足讨论的结论将以经验知识领域和有条件的知识领域，扩展到‘必定性’真理的王国”。所以对包括2+2=4这样的数学知识也是可以进行社会学的浅析的。
另外，为了批判2+2=4具有作用确定性的观点，布鲁尔还理性地构建了语境。他认为2+2=4这个式子的含义并非如理性主义者所想的那样确切，它依赖于具体的语境，比如在他所构造的仅有0、1、2、3、4这样5个数字的有限算数（finite arithmetic）的环境中，当人们回答3+3=1，3+4=2，2*2=4，3*3=4的时候，2+2=4的作用就异于它在十进制中的作用。也即单单拿出一个孤立的式子2+2=4，实际上我们无法理解其确切、具体的含义，我们无法判断它究竟是运用于十进制还是五进制的语境中。我们不能因为五进制的运用范围小于十进制的，就认为五进制的运用不合理、没有作用。这也是布鲁尔强纲领中公正性原则的贯彻，即“它应当对真理和谬误、合理性或者不合理性、成功或者失败，保持客观公正的态度。这些二分状态的两个方面都要加以说明。”

二、对2＋2＝4“非社会学浅析”观点的批判

布鲁尔采取他一贯主张的自然主义、经验主义的原则，对2+2=4的产生和建立进行了浅析。他通过对2+2=4低阶（low-status）、中阶（middle-status）和高阶（high-status）三阶证明的批判，得出“2+2=4的可信性并不是建立在证明的基础之上，具有充分必要条件的证明并不有着”的结论，针锋相对地反驳了劳丹的观点——由证明产生的理性的信念是2＋2=4的可信性的根源。
首先，布鲁尔对2+2=4的低阶证明进行了批判。低阶证明是普通人对这个公式的认识历程。这时人们往往借助实物进行证明，以一堆苹果中选取一对儿，数数：一、二。以这堆苹果中另取一对儿，数数：一、二。然后将两对并行放置，数数：一、二、三、四。这就是2＋2=4的理由。最后的结论可能是：所有与之相似的群体都会产生与之同样的结果。于是：2+2=4。但布鲁尔认为，仅仅因为这些苹果现在以这种方式作为，并不能说明它们将会总是以同样的方式作为。如此方式建立的一个归纳和经验的真理，显然无法推延到建立2+2总是并且必须等于4这样一个永恒真理。所以，以这种方式对2+2=4进行的低阶证明，是不能成立的。
其次，布鲁尔对2+2=4的中阶证明进行了批判。弗雷格（Frege）和皮诺（Peano）所利用的证明用相继联系定义自然数，1是0的后继者，2是1的后继者，2也是0的后继者的后继者，等等。符号表示为：1=S（0），2=S（1），或者2=S（S（0））。这样，2+2=S（S（0））+S（S（0）），4=S（S（S（S（0））））。显然，要利用这种策略证明2+2=4，我们就要追寻S的利用次数。事实上也就是在数数，这样，在证明之初就已经预设了要证明的结果。
再次，布鲁尔对2+2=4的高阶证明进行了批判。职业逻辑学家麦克尔（J.L.Mackie）在1966年对于2+2=4做了一个12步的高阶证明，第1步是他用符号化的语言表达了进行低阶证明的记数者（quantifiers）的行为。后2步是对第1步信息的重复，但消解掉了记数者有着的信息。以后的几步都是对前面步骤的归约，到了第11步，他把一开始消解掉的记数者又拾了回来。第12步则表达了这样的信息，即对于K、L和M集合，如果K只有2个元素，L也只有2个元素，那么当M把两个集合合并，M就是一个四元素的集合。麦克尔的结论是，基于符号逻辑的12个步骤进行演算的这个高阶证明，与我们进行低阶证明时所依赖的完全是一样的思维历程，即我们依赖于2+2=4这个例证。
在布鲁尔看来，这个所谓的高阶证明不外乎是引进了a、b、c、d四个符号，a和b形成一个2元素的集合K，c和d形成一个2元素集合L，a、b、c、d则形成了一个4元素的集合M，其实，它们与低阶证明并无二致，至多前者是一个身体性的收集活动，后者是一个符号性的操作活动。显然麦克尔的证明恰恰说明2+2=4奠基于原始的社会性活动中。布鲁尔对此深刻地指出，如果说我们以建构中得到了什么，理由还是在于我们作为孩童时刻接受的训练。对于2+2=4来说，我们接受它，是因为它来自传统，来自社会性活动，而不是所谓的证明或自明。