浅谈函数利用三次函数系数函数性质

导数的应用,给函数性质的研究开辟了一条新的途径,同时也为函数问题的分析和解决提供了新的视角和方法.它与传统方法相比,简捷明快,具有明显的优势.在当前的中学教学中,导数主要应用在以下两个领域:①和切线摘自：毕业论文格式www.618jyw.com
有关的问题(导数的几何意义);②函数性质研究,具体而言即是函数单调性.
由于函数的单调性性质与其导函数值直接相关(f'(x)>0,函数单调递增;f'(x)<0,函数单调递减),而三次函数相比于二次函数有着更为丰富的单调性区间,因此,考查学生对导数的理解和掌握一般都落在对三次函数单调性的考查上.在二次函数中,函数的性质如对称轴、顶点、与轴交点等均可由二次函数的系数确定;同样的,在三次函数中,函数的单调性、极值点、最值等性质也与函数的系数直接相关,在教学中可启发引导学生借助导数值的正负与函数性质之间的关系,讨论函数中系数与其性质之间的相互关系,并利用数形结合的方法,让学生更加直观地了解导数的正负值在函数图像中所代表的意义.
问题1:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中系数a对函数图像的总体趋势有什么影响?(可提示学生分a>0和a<0两种情况考虑)
学生讨论分析后教师点拨总结:对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其中三次项系数a主导着函数的总体趋势:当a>0时,x从负无穷大到正无穷大时,函数f(x)整体趋势也是从负无穷大到正无穷大,也即图像从第三象限过渡到第一象限;当a0的情况为例,探讨函数系数与函数性质之间的关系;同样的,a<0的情况也可以作类似的讨论.
问题2:函数的性质经常联系导数的知识,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质用导数来研究,看看有什么性质、特征?
引导学生进行分析:对函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),其导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c,这是个二次函数,在高中阶段我们对二次函数图像与性质已经作了详细的分析,依二次函数的性质,由于a>0,故而函数f'(x)是个开口向上的抛物线,显然就f'(x)能否取正负值而言,有以下三种情况:
这是我们所熟悉的函数与x轴没有交点、有一个交点及有两个交点的情况.当函数f'(x)与x轴没有交点时(图1),其所要满足的系数条件是△=(2b)2-4×(3a)×c<0,也即是b2-3ac0恒成立,则表明在此条件下,原三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在实数区间单调递增;当函数f'(x)与x轴只有一个交点时(图2),其所要满足的系数条件是△=(2b)2-4×(3a)×c=0,也即是b2-3ac=0,此时,除x=x0时f'(x)=0外,f'(x)>0恒成立,根据导数与函数单调性性质知此时原三次函数f(x)=3ax3+bx2+cx+d在实数区间内仍然单调递增;当函数f'(x)与x轴有两个交点时(图3),其所要满足的系数条件是△=(2b)2-4×(3a)×c=0,也即是b2×3ac>0,此时函数f'(x)值可正可负,故而原三次函数有可变单调区间,当xx2时,f'(x)>0,原三次函数单调递增,当x1x1=■
x■=■
责任编辑 罗峰